Seja f(x, y)= |x| yraizx^2+y^2, & (x, y) neq(0,0), 0, & (x, y)=(0,0)
Mostre que:
a) f(x, y) é contínua em (0,0).
b) f(x, y) não é diferenciável em (0,0).
c) f(x, y) possui derivadas direcionais em todas as direções no ponto (0,0).

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= dfrac|x|,yraizx^2+y^2,&(x,y)neq(0,0),[6pt] 0,&(x,y)=(0,0),
e pede para mostrar que
1) f é contínua em (0,0),
2) f não é diferenciável em (0,0),
3) f tem derivadas direcionais em todas as direções no ponto (0,0).
Para isso vamos usar estimativas de limite, definição de diferenciabilidade e cálculo direto de limite direcional.]

Passo 2

Queremos provar lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=0. Note que, para (x,y)neq(0,0),
|f(x,y)| =|x|,|y|raizx^2+y^2 <=raizx^2+y^2,raizx^2+y^2raizx^2+y^2 =raizx^2+y^2
Chamando r=raizx^2+y^2, obtemos |f(x,y)|<= r. Logo, quando (x,y)to(0,0) tem-se rto0 e portanto |f(x,y)|to0. Como f(0,0)=0, f é contínua em (0,0).

Passo 3

Se f fosse diferenciável em (0,0), seu diferencial seria dado pelas derivadas parciais em (0,0). Calculamos
fx(0,0) =limhto0f(h,0)-f(0,0)h =limhto00-0h=0, fy(0,0) =limhto0f(0,h)-0h =limhto00h=0
O candidato ao mapeamento linear é L(h,k)=0cdot h+0cdot k=0. Para verificar diferenciabilidade, examinamos
f(x,y)-L(x,y)raizx^2+y^2 =f(x,y)raizx^2+y^2 =|x|,|y|x^2+y^2
Ao aproximar por exemplo pela reta y=xneq0, temos
|x|,|x|x^2+x^2 =x^22x^2=12neq0,
logo o quociente acima não tende a zero em todas as direções. Isso contradiz a definição de diferenciabilidade, de modo que f não é diferenciável em (0,0).

Passo 4

Para uma direção unitária (a,b) qualquer, a derivada direcional em (0,0) é
D(a,b)f(0,0) =limtto0f(ta,tb)-f(0,0)t =limtto0l|tar|,(tb)raiz(ta)^2+(tb)^2cdot1t
Como raiz(ta)^2+(tb)^2=|t|, temos
f(ta,tb)t =|t|,|a|,(t,b)|t|cdot1t =t,|a|,bt =|a|,b
Esse limite existe (é constante igual a |a|,b) para todo (a,b) unitário. Portanto todas as derivadas direcionais em (0,0) existem.

Resposta

a) f é contínua em (0,0).
b) f não é diferenciável em (0,0).
c) Para toda direção unitária (a,b),
D(a,b)f(0,0)=|a|,b

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