Mostre que:
a) f(x, y) é contínua em (0,0).
b) f(x, y) não é diferenciável em (0,0).
c) f(x, y) possui derivadas direcionais em todas as direções no ponto (0,0).
e pede para mostrar que 1) f é contínua em (0,0), 2) f não é diferenciável em (0,0), 3) f tem derivadas direcionais em todas as direções no ponto (0,0).
Para isso vamos usar estimativas de limite, definição de diferenciabilidade e cálculo direto de limite direcional.]
Passo 2
Queremos provar lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=0. Note que, para (x,y)neq(0,0),
logo o quociente acima não tende a zero em todas as direções. Isso contradiz a definição de diferenciabilidade, de modo que f não é diferenciável em (0,0).
Passo 4
Para uma direção unitária (a,b) qualquer, a derivada direcional em (0,0) é