Encontre a solução geral das equações diferenciais:
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
Isso é uma EDO linear de primeira ordem. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante. Precisamos lembrar de:
- Escrever no formato
. - Calcular o fator integrante
. - Multiplicar a equação por
, reconhecer que o LHS vira . - Integrar ambos os lados e isolar
.
Passo 2
Primeiro, identifiquemos
e
.
A equação já está em
A equação já está em
com
Passo 3
Calcule o fator integrante
:
Usei que
e
Passo 4
Multiplicamos toda a EDO por
:
Repare que o lado esquerdo é exatamente a derivada de
.
Passo 5
Agora integramos em relação a
:
Para
, usamos integração por partes:
- Seja
e . - Então
e .
Logo
Substituindo e absorvendo constantes em
:
Passo 6
Finalmente isolamos
:
Resposta
A solução geral é