Encontre a solução geral das equações diferenciais:
y^prime-4t y=t^5 e^t

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
y' - 4t,y = t^5 e^t
Isso é uma EDO linear de primeira ordem. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante. Precisamos lembrar de:
  1. Escrever no formato y' + p(t),y = q(t).
  2. Calcular o fator integrante mu(t)=e^integral p(t),dt.
  3. Multiplicar a equação por mu(t), reconhecer que o LHS vira ddt[mu(t),y].
  4. Integrar ambos os lados e isolar y.

Passo 2

Primeiro, identifiquemos p(t) e q(t).
A equação já está em
y' + p(t),y = q(t)
com
p(t) = -4t, q(t)=t^5 e^t

Passo 3

Calcule o fator integrante mu(t):
mu(t) = exp!l(integral p(t),dtr) = exp!l(integral -4t,dtr) = exp(-4ln|t|) = t^-4
Usei que integral 1t,dt=ln|t| e e^-4ln t=t^-4

Passo 4

Multiplicamos toda a EDO por mu(t)=t^-4:
t^-4y' - 4t^-5y = t^-4cdot t^5 e^t Longrightarrow ddtl(t^-4yr) = t,e^t
Repare que o lado esquerdo é exatamente a derivada de t^-4y.

Passo 5

Agora integramos em relação a t:
t^-4y = integral t,e^t,dt + C
Para integral t,e^t,dt, usamos integração por partes:
  • Seja u=t e dv=e^t dt.
  • Então du=dt e v=e^t.
    Logo
integral t,e^t dt = t,e^t - integral e^t dt = t,e^t - e^t + K = (t-1)e^t + K
Substituindo e absorvendo constantes em C:
t^-4y = (t-1)e^t + C

Passo 6

Finalmente isolamos y:
y = t^4l[(t-1)e^t + Cr] = t^5e^t - t^4e^t + C,t^4

Resposta

A solução geral é
boxedy(t) = t^5e^t - t^4e^t + C,t^4, CinR

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