Determine se as afirmações abaixo, sobre uma função f: D subset R R, são verdadeiras ou falsas. Justifique suas respostas.
Se o limite de f em x0 existe, então os limites laterais de f em x0 existem.

Passo 1

O enunciado pergunta se, para uma função fcolon DsubsetRtoR e um ponto x0, o fato de
limxto x0f(x)=L
existir implica que
limxto x0^-f(x) e limxto x0^+f(x)
existem. O conteúdo é a definição de limite (duas vias) e de limites laterais, e vamos usar a definição varepsilon de<a.

Passo 2

Por definição, dizer que
limxto x0f(x)=L
significa: para todo varepsilon>0 existe de<a>0 tal que, para todo xin D com 0<|x-x0|<de<a, vale
|f(x)-L|<varepsilon
Se restringirmos essa condição apenas aos x que ficam à esquerda de x0 (ou seja, x<x0), vemos que continua valendo: sempre que 0<x0-x<de<a temos |f(x)-L|<varepsilon. Isso é exatamente a definição de
limxto x0^-f(x)=L
De forma análoga, restringindo aos x>x0 obtemos a definição de
limxto x0^+f(x)=L
com o mesmo de<a. Portanto as duas limites laterais existem e valem L.

Resposta

A afirmação é verdadeira.

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