Verifique nos casos a seguir, se a função F é uma primitiva de f :
F(x)=-(x+2) raiz1-x e f(x)=3 x2 raiz1-x;

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
F(x)=-(x+2)raiz1-x
é uma primitiva de
f(x)=3x2raiz1-x
Isto significa checar se F'(x)=f(x). Para isso usaremos as regras de derivação de produto e cadeia.

Passo 2

Escrevemos F(x) como produto de duas funções:
F(x) = -,u(x),v(x), u(x)=x+2, v(x)=(1-x)^1/2
Então, pela regra do produto e constante:
F'(x) = -l(u'(x),v(x) + u(x),v'(x)r)
Aqui u'(x)=1 e, pela regra da cadeia,
v'(x)=tfrac12(1-x)^-1/2cdot(-1) = -12raiz1-x

Passo 3

Substituindo em F'(x):
F'(x) = -l(1cdot(1-x)^1/2 + (x+2)cdotl(-tfrac12raiz1-xr)r) = -l((1-x)^1/2 - x+22raiz1-xr)
Colocando em denominador comum 2raiz1-x:
F'(x) = -2(1-x)-(x+2)2raiz1-x = -2 - 2x - x - 22raiz1-x = --3x2raiz1-x = 3x2raiz1-x

Resposta

Sim. De fato
F'(x)=3x2raiz1-x=f(x),
logo F é uma primitiva de f.

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