Determine se as afirmações abaixo, sobre uma função , são verdadeiras ou falsas. Justifique suas respostas.
Se os limites laterais de em existem, então o limite de em existe.
Passo 1
O enunciado pertence ao conteúdo de limites de funções em análise real. Ele afirma que, se existem ambos os limites laterais de em , então o limite existe. Para avaliar isso, vamos lembrar a definição de limites lateral e as condições para a existência do limite comum.
Passo 2
Por definição,
existem se, respectivamente, se aproxima de quando pela esquerda e de quando pela direita. Já existe
se, e somente se, e existem e coincidem, ou seja, .
Passo 3
A afirmação “se os limites laterais existem, então o limite existe” ignora a condição de igualdade . Basta um exemplo em que ambos os limites laterais existem mas não são iguais para refutar a afirmação.
Passo 4
Considere a função de salto
Aqui
limxto0^-f(x)=-1 e limxto0^+f(x)=+1
existem, mas são diferentes. Logo não existe limxto0f(x), pois não há um único valor para o limite global.