Determine se as afirmações abaixo, sobre uma função f: D subset R R, são verdadeiras ou falsas. Justifique suas respostas.
Se os limites laterais de f em x0 existem, então o limite de f em x0 existe.

Passo 1

O enunciado pertence ao conteúdo de limites de funções em análise real. Ele afirma que, se existem ambos os limites laterais de f em x0, então o limite limxto x0f(x) existe. Para avaliar isso, vamos lembrar a definição de limites lateral e as condições para a existência do limite comum.

Passo 2

Por definição,
limxto x0^-f(x)=L^- e limxto x0^+f(x)=L^+
existem se, respectivamente, f(x) se aproxima de L^- quando xto x0 pela esquerda e de L^+ quando xto x0 pela direita. Já existe
limxto x0f(x)
se, e somente se, L^- e L^+ existem e coincidem, ou seja, L^-=L^+.

Passo 3

A afirmação “se os limites laterais existem, então o limite existe” ignora a condição de igualdade L^-=L^+. Basta um exemplo em que ambos os limites laterais existem mas não são iguais para refutar a afirmação.

Passo 4

Considere a função de salto
f(x)= -1, & x<0, +1, & x>0
Aqui
limxto0^-f(x)=-1 e limxto0^+f(x)=+1
existem, mas são diferentes. Logo não existe
limxto0f(x), pois não há um único valor para o limite global.

Resposta

A afirmação é falsa.

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