Verifique nos casos a seguir, se a função F é uma primitiva de f :
F(x)=x-arctg x e f(x)=x^21+x^2;

Passo 1

O enunciado nos dá
F(x)=x-arctgx e f(x)=x^21+x^2,
e pede para verificar se F é uma primitiva de f. Para isso, vamos usar regras de derivação: derivada de soma e derivada de arctgx.

Passo 2

Escrevemos a derivada de F:
F'(x)=ddxl(xr);-;ddxl(arctgxr)

Passo 3

Calculamos cada termo:
ddxl(xr)=1, ddxl(arctgxr)=11+x^2
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F'(x)=1-11+x^2

Passo 4

Para simplificar,
F'(x) =1+x^21+x^2-11+x^2 =x^21+x^2,
que coincide com f(x). Portanto, F'(x)=f(x) para todo x.

Resposta

F é de fato uma primitiva de f.

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