Verifique nos casos a seguir, se a função F é uma primitiva de f :
F(x)=(x^2-2) sen x+2 x cos x e f(x)=x^2 cos x.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
F(x) = (x^2-2)sin x + 2xcos x
é uma primitiva da função
f(x) = x^2cos x
O conteúdo envolvido é o cálculo de derivadas (regra do produto e soma), para comparar ddxF(x) com f(x).

Passo 2

Escrevemos a derivada de F usando a soma de derivadas e a regra do produto:
ddxF(x) = ddxl[(x^2-2)sin xr] + ddxl[2xcos xr]

Passo 3

Para o primeiro termo, seja u(x)=x^2-2 e v(x)=sin x. Então u'(x)=2x e v'(x)=cos x. Assim
ddxl[(x^2-2)sin xr] = 2x,sin x + (x^2-2)cos x

Passo 4

Para o segundo termo, seja p(x)=2x e q(x)=cos x. Então p'(x)=2 e q'(x)=-sin x. Logo
ddxl[2xcos xr] = 2,cos x - 2x,sin x

Passo 5

Somando as duas derivadas:
ddxF(x) = l[2xsin x + (x^2-2)cos xr] + l[2cos x - 2xsin xr]
Os termos 2xsin x cancelam, e
(x^2-2)cos x + 2cos x = x^2cos x
Portanto
ddxF(x) = x^2cos x = f(x),
o que mostra que F é de fato uma primitiva de f.

Resposta

Sim. F'(x)=f(x), logo F é uma primitiva de f.

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