Determine se as afirmações abaixo, sobre uma função f: D subset R R, são verdadeiras ou falsas. Justifique suas respostas.
Se os limites laterais de f em x0 existem e são iguais, então o limite de f em x0 existe.

Passo 1

O enunciado pergunta se, dado fcolon DsubsetRtoR e um ponto x0, o fato de existirem
limxto x0^-f(x) e limxto x0^+f(x)
e ambas serem iguais a um mesmo número L implica que
limxto x0f(x)
existe. O conteúdo principal é a definição de limite unilateral e bilateral via critério varepsilon- de<a.

Passo 2

Recordando as definições:
– Dizemos que limxto x0f(x)=L se, para todo varepsilon>0, existe de<a>0 tal que, para todo xin D com 0<|x-x0|<de<a, vale
|f(x)-L|<varepsilon
– Já limxto x0^-f(x)=L significa: para todo varepsilon>0 existe de<a1>0 tal que, se xin D e x0-de<a1<x<x0, então
|f(x)-L|<varepsilon
– E limxto x0^+f(x)=L significa: para todo varepsilon>0 existe de<a2>0 tal que, se xin D e x0<x<x0+de<a2, então
|f(x)-L|<varepsilon

Passo 3

Pela hipótese temos
limxto x0^- f(x) = L e limxto x0^+ f(x) = L
Logo para cada varepsilon > 0 existem de<a1 > 0 e de<a2 > 0 tais que
x0 - de<a1 < x < x0 implies |f(x) - L| < varepsilon, [6pt] x0 < x < x0 + de<a2 implies |f(x) - L| < varepsilon ]

Passo 4

Definimos de<a=min(de<a1,de<a2). Então, se xin D satisfaz 0<|x-x0|<de<a, necessariamente ou x0-de<a<x<x0 ou x0<x<x0+de<a. Em ambos os casos temos |f(x)-L|<varepsilon.

Passo 5

Isso mostra exatamente que
limxto x0f(x)=L
Portanto a afirmação é verdadeira.

Resposta

Verdadeira.

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