Sejam a e b dois vetores constantes não nulos. Seja r(t)=e^2 t a+e^-2 t b. Mostrar que r^prime prime(t) tem o mesmo sentido que r(t).
14. Seja r(t)=2 cos w t i+4 sen w t j, onde w é uma constante não nula. Mostrar que
d^2 rd t^2=-w^2 r

Passo 1

O enunciado traz duas funções vetorais e pede dois resultados distintos:
  1. Para r(t)=e^2ta+e^-2tb, mostrar que r''(t) tem o mesmo sentido (ou seja, é colinear) que r(t).
  2. Para r(t)=2cos(omega t),i+4sin(omega t),j, mostrar que
d^2rdt^2=-omega^2,r(t)
Vamos usar derivação componente a componente e propriedades de colinearidade de vetores.

Passo 2

Calcular r'(t) e r''(t) para r(t)=e^2ta+e^-2tb e verificar a relação com r(t).
r'(t) =ddtl(e^2ta+e^-2tbr) =2e^2ta-2e^-2tb,
r''(t) =ddtl(2e^2ta-2e^-2tbr) =4e^2ta+4e^-2tb
Mas note que
4e^2ta+4e^-2tb =4l(e^2ta+e^-2tbr) =4,r(t)
Logo r''(t) é simplesmente 4 vezes r(t), ou seja, está na mesma direção e mesmo sentido de r(t).

Passo 3

Calcular r'(t) e r''(t) para r(t)=2cos(omega t),i+4sin(omega t),j e verificar a relação pedida.
r'(t) =ddtl(2cos(omega t),i+4sin(omega t),jr) =-2omegasin(omega t),i+4omegacos(omega t),j,
r''(t) =ddtl(-2omegasin(omega t),i+4omegacos(omega t),jr) =-2omega^2cos(omega t),i-4omega^2sin(omega t),j
Fatorando -omega^2 em r''(t), obtemos
r''(t) =-omega^2l(2cos(omega t),i+4sin(omega t),jr) =-omega^2,r(t)

Resposta

Para a primeira função vetorial, r''(t)=4,r(t), logo r'' e r têm o mesmo sentido.
Para a segunda, d^2rdt^2=-omega^2,r(t).

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