Se r(t) é o vetor posição de uma partícula em movimento, mostrar que o vetor velocidade da partícula é perpendicular a r(t).
r(t)=(cos t, sen t)

Passo 1

O enunciado nos dá a posição de uma partícula pela função vetorial
vec r(t)=(cos t,sin t)
e pede para mostrar que o vetor velocidade
vec v(t)=dvec rdt
é sempre perpendicular a vec r(t). O conteúdo que vamos usar é: (i) derivada componente a componente de uma função vetorial e (ii) produto escalar, lembrando que se vec acdotvec b=0 então vec a e vec b são ortogonais.

Passo 2

Derivamos cada componente de vec r(t) em relação a t. Assim,
vec v(t)=dvec rdt =l(ddtcos t,;ddtsin tr) =(-sin t,cos t)

Passo 3

Calculamos o produto escalar entre vec r(t) e vec v(t):
vec r(t)cdotvec v(t) =cos tcdot(-sin t)+sin tcdot(cos t) =-cos t,sin t+sin t,cos t =0

Passo 4

Como o produto escalar de vec r(t) por vec v(t) é zero para todo t, concluímos que esses vetores são sempre ortogonais, ou seja, vec v(t) é perpendicular a vec r(t).

Resposta

O vetor velocidade vec v(t)=(-sin t,cos t) satisfaz vec r(t)cdotvec v(t)=0, logo é perpendicular a vec r(t).

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