Seja a função afim cujo gráfico é a reta , com e seja um ponto da curva de modo que sua distância a seja maximizada.
(a) Determine as coordenadas do ponto
(b) Seja o ponto de interseção da perpendicular de a e . Determine .
Mostre, inicialmente, que se e são dois pontos no plano, então a distância entre e é dada por
Mostre, inicialmente, que dadas duas retas e com coeficientes angulares iguais a e , respectivamente, e são perpendiculares se, e somente se . Em seguida, mostre que se uma reta é da forma , dado um ponto , a distância entre e é dada por
Passo 1
O enunciado trata de uma curva no intervalo e de uma reta , com . Queremos o ponto dessa parábola cuja distância a seja máxima e, em seguida, o pé da perpendicular de em , calculando . Para isso precisamos:
– a fórmula da distância entre dois pontos;
– a condição de perpendicularidade de retas via coeficientes angulares;
– a fórmula da distância de um ponto a uma reta.
Passo 2
Sejam e . Pela definição de distância euclidiana no plano,
Passo 3
Duas retas e com coeficientes angulares e são perpendiculares se, e somente se
Isso decorre de que o produto escalar entre vetores de direção e deve ser zero.
Passo 4
Uma reta geral é . Dado , a distância de a essa reta é
Isso vem de projetar o vetor (xp,yp) sobre o vetor normal (a,b).
Passo 5
No nosso caso ellcolon y=ax pode ser escrita como
a x-y=0,
logo, para P=(p,p^2),
d(p) =l|a,p - p^2r|raiza^2+1 =p,(a-p)raiza^2+1,
pois pin[0,a] faz a p-p^2>=0.
Passo 6
Para maximizar d(p) é equivalente maximizar
g(p)=(a p-p^2)^2
Derivando,
g'(p)=2(a p-p^2)(a-2p),
as raízes em [0,a] são p=0, p=a e p=a/2. Nos extremos g=0, e em p=a/2 obtemos o máximo. Logo
P=l(p,p^2r) =l(tfrac a2,tfraca^24r)
Passo 7
A reta ell tem coeficiente angular a, então a perpendicular em P tem coeficiente -1/a. Sua equação é
y-p^2 = -1a(x-p)
No ponto de interseção H=(h,ah) com y=ax, substituímos y=ax e obtemos
a h - p^2 = -1a(h-p) Longrightarrow h,(a^2+1)=a p^2 + p
Como p=a/2,
h =a,(a/2)^2 + (a/2)a^2+1 =a^3/4 + a/2a^2+1 =a( a^2+2)4(a^2+1)
Passo 8
Calculamos
h p =a( a^2+2)4(a^2+1),tfrac a2, =a^2+22(a^2+1) Longrightarrow limato+infty h p =12