Seja ell a função afim cujo gráfico é a reta y=a x, com a>0 e seja P um ponto da curva y=x^2(0 <= x <= a) de modo que sua distância a ell seja maximizada.
(a) Determine as coordenadas do ponto P=(p, p^2) cdot
(b) Seja H=(h, a h) o ponto de interseção da perpendicular de P a ell e ell. Determine lim a +infty hp.
Mostre, inicialmente, que se A=(x1, y1) e B=(x2, y2) são dois pontos no plano, então a distância entre A e B é dada por
d(A, B)=raiz(x1-x2)^2+(y1-y2)^2
Mostre, inicialmente, que dadas duas retas r e s com coeficientes angulares iguais a mr e ms, respectivamente, r e s são perpendiculares se, e somente se mr cdot ms=-1. Em seguida, mostre que se uma reta ell é da forma a x+b y+c=0, dado um ponto P=(xp, yp) notin ell, a distância entre P e ell é dada por
d(ell, P)=|a xp+b yp+c|raiza^2+b^2

Passo 1

O enunciado trata de uma curva y=x^2 no intervalo 0<= x<= a e de uma reta ellcolon y=ax, com a>0. Queremos o ponto P=(p,p^2) dessa parábola cuja distância a ell seja máxima e, em seguida, o pé da perpendicular H=(h,ah) de P em ell, calculando limato+inftyh/p. Para isso precisamos:
– a fórmula da distância entre dois pontos;
– a condição de perpendicularidade de retas via coeficientes angulares;
– a fórmula da distância de um ponto a uma reta.

Passo 2

Sejam A=(x1,y1) e B=(x2,y2). Pela definição de distância euclidiana no plano,
d(A,B) =raiz(x1-x2)^2+(y1-y2)^2

Passo 3

Duas retas r e s com coeficientes angulares mr e ms são perpendiculares se, e somente se
mrcdot ms=-1
Isso decorre de que o produto escalar entre vetores de direção (1,mr) e (1,ms) deve ser zero.

Passo 4

Uma reta geral é a x+b y+c=0. Dado P=(xp,yp), a distância de P a essa reta é
d(ell,P) =l|a xp+b yp+cr|raiza^2+b^2
Isso vem de projetar o vetor (xp,yp) sobre o vetor normal (a,b).

Passo 5

No nosso caso ellcolon y=ax pode ser escrita como
a x-y=0,
logo, para P=(p,p^2),
d(p) =l|a,p - p^2r|raiza^2+1 =p,(a-p)raiza^2+1,
pois pin[0,a] faz a p-p^2>=0.

Passo 6

Para maximizar d(p) é equivalente maximizar
g(p)=(a p-p^2)^2
Derivando,
g'(p)=2(a p-p^2)(a-2p),
as raízes em [0,a] são p=0, p=a e p=a/2. Nos extremos g=0, e em p=a/2 obtemos o máximo. Logo
P=l(p,p^2r) =l(tfrac a2,tfraca^24r)

Passo 7

A reta ell tem coeficiente angular a, então a perpendicular em P tem coeficiente -1/a. Sua equação é
y-p^2 = -1a(x-p)
No ponto de interseção H=(h,ah) com y=ax, substituímos y=ax e obtemos
a h - p^2 = -1a(h-p) Longrightarrow h,(a^2+1)=a p^2 + p
Como p=a/2,
h =a,(a/2)^2 + (a/2)a^2+1 =a^3/4 + a/2a^2+1 =a( a^2+2)4(a^2+1)

Passo 8

Calculamos
h p =a( a^2+2)4(a^2+1),tfrac a2, =a^2+22(a^2+1) Longrightarrow limato+infty h p =12

Resposta

O ponto que maximiza a distância é
P=l(tfrac a2,tfraca^24r),
e
limato+infty hp=12

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