Determine se as afirmações são verdadeiras ou falsas, justificando sua resposta:
As funções
e
são LD se existirem um número real
e escalares
e
tais que
.
As funções
Passo 1
O enunciado pergunta se é suficiente haver um ponto
e escalares
, não ambos nulos, tais que
para concluir que
e
são linearmente dependentes. O conteúdo da matéria é a definição de dependência linear de funções.
Passo 2
Pela definição, duas funções
e
são linearmente dependentes se e somente se existirem escalares
, não ambos nulos, tais que
Passo 3
A afirmação do enunciado troca o quantificador “para todo
” por “existe um
”. Basta um único ponto onde a combinação some a zero, mas isso não garante que a soma seja identicamente zero em todo o domínio.
Passo 4
Contraexemplo: tome
e
. Essas funções são linearmente independentes, pois nenhuma combinação não trivial anula-se para todo
. Ainda assim, no ponto
escolhemos
e
e obtemos
satisfazendo a condição “existe um
” sem que haja dependência linear.
Resposta
A afirmação é falsa.