Determine se as afirmações são verdadeiras ou falsas, justificando sua resposta:
As funções f1 e f2 são LD se existirem um número real x e escalares k1 e k2 tais que k1 f1(x)+k2 f2(x)=0.

Passo 1

O enunciado pergunta se é suficiente haver um ponto x e escalares k1,k2, não ambos nulos, tais que
k1f1(x)+k2f2(x)=0
para concluir que f1 e f2 são linearmente dependentes. O conteúdo da matéria é a definição de dependência linear de funções.

Passo 2

Pela definição, duas funções f1 e f2 são linearmente dependentes se e somente se existirem escalares k1,k2, não ambos nulos, tais que
k1f1(x)+k2f2(x)=0 para todo (x) no domínio í

Passo 3

A afirmação do enunciado troca o quantificador “para todo x” por “existe um x”. Basta um único ponto onde a combinação some a zero, mas isso não garante que a soma seja identicamente zero em todo o domínio.

Passo 4

Contraexemplo: tome f1(x)=1 e f2(x)=x. Essas funções são linearmente independentes, pois nenhuma combinação não trivial anula-se para todo x. Ainda assim, no ponto x=0 escolhemos k1=0 e k2=1 e obtemos
0cdot f1(0)+1cdot f2(0)=0,
satisfazendo a condição “existe um x” sem que haja dependência linear.

Resposta

A afirmação é falsa.

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