Determine quais das afirmativas abaixo são verdadeiras e quais são falsas. Justifique a sua resposta.
a. Se e A C são colineares, então C B e B A são colineares?
b. O segmento A B é paralelo ao segmento C D se, e somente se, A B é múltiplo de C D.
c. O segmento A B é paralelo ao segmento C D se, e somente se, A B e C D são colineares.
d. Se A, B, C e D são pontos distintos, o segmento A B é paralelo ao segmento C D se, e somente se, A B é múltiplo de C D.
Passo 1
O enunciado trata de duas noções básicas de geometria vetorial:
– Dois vetores são colineares quando um é múltiplo escalar do outro (ou seja, quando são linearmente dependentes).
– Dois segmentos AB e CD são paralelos quando suas direções coincidem ou são opostas, o que em termos de vetores livres significa que AB e CD são colineares.
Passo 2
a. Suponha que AB e AC sejam colineares. Então A,B,C estão sobre uma mesma reta. Qualquer vetor que una dois desses pontos estará nessa reta, logo CB e BA também pertencem à mesma reta e, portanto, são colineares.
Passo 3
b. “ABparal<=l CD se, e somente se, AB é múltiplo de CD.”
– Se ABparal<=l CD, as direções coincidem ou são opostas, logo existe lambdaneq0 tal que
AB=lambda,CD
– Reciprocamente, se AB=lambda,CD com lambdaneq0, as direções de AB e CD coincidem ou são opostas, então os segmentos são paralelos.
c. “ABparal<=l CD se, e somente se, AB e CD são colineares.”
Mas colinearidade de vetores significa exatamente dependência linear, isto é, um é múltiplo do outro. Portanto este item é equivalente ao anterior e também é verdadeiro.
Passo 4
d. Agora adiciona-se a hipótese de que A,B,C,D são todos distintos, garantindo que AB e CD não sejam o vetor nulo. Com isso, a equivalência de b) continua valendo sem alterações:
ABparal<=l CD Long<=ftrightarrow AB é mú<iplo de CD éú
Resposta
a. Verdadeira
b. Verdadeira
c. Verdadeira
d. Verdadeira