Determine as inversas das matrizes seguintes se possível:
[ccc1 & -1 & 9 2 & 5 & 0 3 & 4 & 1]

Passo 1

O enunciado pede a inversa da matriz
A = 1 & -1 & 9 2 & 5 & 0 3 & 4 & 1
Para inverter uma matriz 3times3 usamos a fórmula
A^-1 = 1det(A)adj(A),
onde det(A) é o determinante e adj(A) é a matriz adjunta (a transposta da matriz de cofatores).

Passo 2

Calculamos o determinante de A pela primeira linha:
det(A) =1cdot5&04&1 -(-1)cdot2&03&1 +9cdot2&53&4
Agora cada menor:
5&04&1 =5cdot1-0cdot4=5, 2&03&1 =2cdot1-0cdot3=2,
2&53&4 =2cdot4-5cdot3=8-15=-7
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det(A)=1cdot5 -(-1)cdot2 +9cdot(-7) =5+2 -63=-56

Passo 3

Agora formamos a matriz de cofatores C, onde cada entrada Cij=(-1)^i+jMij e Mij é o menor correspondente. Calculando rapidamente todos os cofatores:
C = 5 & -2 & -7 37 & -26 & -7 -45 & 18 & 7

Passo 4

A matriz adjunta é a transposta de C:
adj(A)=C^T = 5 & 37 & -45 -2 & -26 & 18 -7 & -7 & 7
Portanto
A^-1 = 1det(A),adj(A) = -tfrac156 5 & 37 & -45 -2 & -26 & 18 -7 & -7 & 7
Bastou multiplicar cada entrada por -tfrac156 e simplificar frações.

Resposta

A^-1 = -556 & -3756 & 4556 [6pt] 128 & 1328 & -928 [6pt] 18 & 18 & -18 ]

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