Sem usar a Proposição 4.5, determine se os pontos A, B e C dados (em relação a um sistema ortogonal de coordenadas cartesianas OXYZ) são colineares ou não.
A=(pi(pi-1), pi, 0), B=(1,-1,1), C=(pi, 0,1).

Passo 1

O enunciado pede pra verificar se os pontos A=(pi(pi-1),pi,0), B=(1,-1,1) e C=(pi,0,1) estão alinhados no espaço. Vamos usar a ideia de que três pontos são colineares se e somente se os vetores BA e BC forem proporcionais.

Passo 2

Calculamos BA=A-B=(pi(pi-1)-1,;pi+1,;-1) e BC=C-B=(pi-1,;1,;0). Para serem proporcionais, deve existir lambda tal que BA=lambdaBC.

Passo 3

Observamos a terceira componente de BA e BC: temos -1 em BA e 0 em BC, ou seja,
-1 = lambdacdot 0
que implica -1=0, absurdo. Logo, não existe lambda que satisfaça a proporção.

Resposta

Os pontos A, B e C não são colineares.

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