Determine os algarismos x, y e z em cada caso para que os números abaixo, representados na base 10 , tenham a propriedade mencionada
2x7y é divisível por 11 e por 4 ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar os algarismos x e y no número 2x7y de forma que esse número seja divisível por 11 e por 4. A gente vai usar um pouco de matemática para descobrir quais valores x e y precisam ter para que isso aconteça.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa um número ser divisível por 11. Tem uma regra que ajuda nisso: você soma os dígitos nas posições ímpares e depois os das posições pares, e a diferença entre essas duas somas deve ser múltipla de 11 (ou seja, pode ser zero). No nosso número 2x7y , as posições ímpares são a primeira e a terceira (2 e 7), e as posições pares são a segunda e a quarta (x e y).
Então, a soma das posições ímpares é:
2 + 7 = 9
E a soma das posições pares é:
x + y
A diferença entre essas somas deve ser múltipla de 11:
9 - (x + y) equiv 0 (mod 11)
Ou seja:
x + y = 9 ou x + y = 20
Mas como x e y são dígitos (valem de 0 a 9), a única possibilidade é:
x + y = 9

Passo 3

Agora, vamos verificar a condição de divisibilidade por 4. Para um número ser divisível por 4, os dois últimos dígitos devem formar um número que também seja divisível por 4. No nosso caso, os últimos dois dígitos são 7y . Então, precisamos que o número formado por 7y seja divisível por 4.
Vamos testar os possíveis valores de y (de 0 a 9) para ver quais formam um número 7y divisível por 4:
  • y = 2 : 72 ÷ 4 = 18 → divisível
  • y = 6 : 76 ÷ 4 = 19 → divisível
Então, as possibilidades para y são 2 e 6.

Passo 4

Sabemos que x + y = 9 . Já temos duas opções para y :
  1. Se y = 2 :
x + 2 = 9 implies x = 7
  1. Se y = 6 :
x + 6 = 9 implies x = 3

Resposta

Os algarismos que satisfazem as condições são:
  • Se y = 2 , então x = 7 , formando o número 2772 .
  • Se y = 6 , então x = 3 , formando o número 2376 .

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