Determine os algarismos x, y e z em cada caso para que os números abaixo, representados na base 10 , tenham a propriedade mencionada
28x75y é divisível por 3 e por 11 ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem o número 28x75y e precisa descobrir quais valores podem ser os dígitos x e y para que esse número seja divisível por 3 e por 11. Vamos usar as regras de divisibilidade para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a regra de divisibilidade por 3. Um número é divisível por 3 se a soma de todos os seus dígitos for múltiplo de 3. Então, vamos somar os dígitos que já conhecemos:
2 + 8 + x + 7 + 5 + y = 22 + x + y
Para que o número seja divisível por 3, 22 + x + y precisa ser múltiplo de 3.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a regra de divisibilidade por 11. Um número é divisível por 11 se a diferença entre a soma dos dígitos das posições ímpares e a soma dos dígitos das posições pares for 0 ou múltiplo de 11.
Vamos identificar as posições dos dígitos em 28x75y:
  1. Posição 1: 2
  2. Posição 2: 8
  3. Posição 3: x
  4. Posição 4: 7
  5. Posição 5: 5
  6. Posição 6: y
Soma dos dígitos das posições ímpares: 2 + x + 5 = x + 7
Soma dos dígitos das posições pares: 8 + 7 + y = 15 + y
A diferença é (x + 7) - (15 + y) = x - y - 8
Para que o número seja divisível por 11, essa diferença deve ser 0 ou múltiplo de 11:
x - y - 8 = 0 ou x - y - 8 = pm11

Passo 4

Vamos resolver as duas condições:
  1. Primeira condição:
x - y - 8 = 0
Rightarrow x - y = 8
Rightarrow x = y + 8
Como x e y são dígitos (0 a 9), as possíveis combinações são:
  • y = 0, x = 8
  • y = 1, x = 9
  1. Segunda condição:
x - y - 8 = 11
Rightarrow x - y = 19
Essa diferença não é possível porque x e y são dígitos (no máximo 9 - 0 = 9).
  1. Terceira condição:
x - y - 8 = -11
Rightarrow x - y = -3
Rightarrow x = y - 3
Possíveis combinações:
  • y = 3, x = 0
  • y = 4, x = 1
  • y = 5, x = 2
  • y = 6, x = 3
  • y = 7, x = 4
  • y = 8, x = 5
  • y = 9, x = 6

Passo 5

Agora, vamos verificar quais dessas combinações também satisfazem a condição de divisibilidade por 3, ou seja, 22 + x + y ser múltiplo de 3.
Vamos testar cada par:
  1. Primeiras combinações ( x = y + 8):
  • y = 0, x = 8:
22 + 8 + 0 = 30 → 30 é múltiplo de 3 ✔️
  • y = 1, x = 9:
22 + 9 + 1 = 32 → 32 não é múltiplo de 3 ❌
  1. Segundas combinações ( x = y - 3):
  • y = 3, x = 0:
22 + 0 + 3 = 25 → 25 não é múltiplo de 3 ❌
  • y = 4, x = 1:
22 + 1 + 4 = 27 → 27 é múltiplo de 3 ✔️
  • y = 5, x = 2:
22 + 2 + 5 = 29 → 29 não é múltiplo de 3 ❌
  • y = 6, x = 3:
22 + 3 + 6 = 31 → 31 não é múltiplo de 3 ❌
  • y = 7, x = 4:
22 + 4 + 7 = 33 → 33 é múltiplo de 3 ✔️
  • y = 8, x = 5:
22 + 5 + 8 = 35 → 35 não é múltiplo de 3 ❌
  • y = 9, x = 6:
22 + 6 + 9 = 37 → 37 não é múltiplo de 3 ❌

Resposta

Os dígitos que satisfazem as condições são:
  • x = 8, y = 0
  • x = 1, y = 4
  • x = 4, y = 7
Portanto, as possíveis combinações para x e y são (8, 0), (1, 4) e (4, 7).

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