Obtenha fórmulas para encontrar o vértice V e o foco F da parábola y=a x^2+b x+c, em função dos parâmetros a, b e c.

Passo 1

Temos a parábola definida por
y = a x^2 + b x + c,
e queremos encontrar em função de a,b,c as coordenadas do vértice V e do foco F. Vamos usar dois ingredientes principais: (i) o vértice de uma parábola é o ponto de mínimo (ou máximo) que se obtém pela derivada igual a zero (ou completando o quadrado); (ii) na forma canônica
y - k = a,(x - h)^2
o parâmetro
p=14a
é a distância do vértice (h,k) ao foco l(h,k+pr).

Passo 2

Calculamos o vértice (h,k) igualando a derivada a zero.
dydx=2a x + b = 0 Longrightarrow x = -b2a
Substituindo em y,
k = al(-tfracb2ar)^2 + bl(-tfracb2ar) + c = b^24a - b^22a + c = c - b^24a
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V = l(h,kr) = l(-tfracb2a,,c - tfracb^24ar)

Passo 3

Para identificar o foco, escrevemos a parábola na forma canônica completando o quadrado:
y = a x^2 + b x + c = al(x^2 + tfracbaxr) + c = al(x + tfracb2ar)^2 + l(c - tfracb^24ar)
Isso mostra que é do tipo
y - k = a,(x - h)^2,
com h=-tfracb2a e k=c - tfracb^24a. Na forma padrão a distância do vértice ao foco é
p = 14a

Passo 4

Como o foco fica acima do vértice quando a>0 (ou abaixo quando a<0), suas coordenadas são
F = l(h,,k + pr) = l(-tfracb2a,,c - tfracb^24a + tfrac14ar)

Resposta

Vértice:
V = l(-tfracb2a,,c - tfracb^24ar)
Foco:
F = l(-tfracb2a,,c - tfracb^24a + tfrac14ar)

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