Determine, algebricamente, o domínio das funções a seguir.
f(x)=\sqrt{(x-1)(x-5)}-\frac{1}{x}

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x) = \sqrt{(x-1)(x-5)} \;-\;\frac{1}{x}
e pede o domínio. Para encontrar o domínio de f precisamos garantir duas coisas:
  1. O radicando deve ser não negativo, pois só definimos \sqrt{\cdot} para valores \ge0.
  2. O denominador não pode ser zero, pois não podemos dividir por zero.

Passo 2

Vamos primeiro resolver a condição de não negatividade do radicando. Precisamos de
(x-1)(x-5)\ge 0.
Os zeros do produto são x=1 e x=5. Como o produto faz um polinômio de grau 2 com coeficiente líder positivo, ele é não negativo fora do intervalo fechado entre as raízes. Logo,
(x-1)(x-5)\ge0 \quad\Longleftrightarrow\quad x\le1\quad\text{ou}\quad x\ge5.

Passo 3

Agora aplicamos a segunda restrição: x\neq 0, pois temos o termo \tfrac{1}{x}.

Passo 4

Combinando as duas condições:
- Da condição do radicando temos o conjunto (-\infty,1]\cup[5,\infty).
- Excluímos x=0.
Portanto o domínio de f é
(-\infty,0)\;\cup\;(0,1]\;\cup\;[5,\infty).

Resposta

O domínio de f(x)=\sqrt{(x-1)(x-5)}-\frac{1}{x} é
(-\infty,0)\cup(0,1]\cup[5,\infty).

Exercícios relacionados