Determine f(\alpha), usando o algoritmo de Briot-Ruffini:
f(x)=3 x^{4}+2 x^{3}-3 x^{2}-x+7 e \alpha=-3.

Passo 1

O enunciado dá o polinômio
f(x)=3x^{4}+2x^{3}-3x^{2}-x+7
e pede para calcular f(\alpha) com \alpha=-3 usando o algoritmo de Briot-Ruffini. O conteúdo aqui é divisão sintética de polinômios, pois sabemos que o resto da divisão de f(x) por (x-\alpha) é exatamente f(\alpha).

Passo 2

O algoritmo de Briot-Ruffini consiste em escrever os coeficientes de f(x), “baixar” o primeiro coeficiente, em seguida multiplicar esse valor por \alpha e somar ao próximo coeficiente, repetindo o processo até o fim. O último valor obtido é o resto, ou seja, f(\alpha).

Passo 3

Listamos os coeficientes de f(x) e aplicamos \alpha=-3 na divisão sintética:
\begin{array}{c|rrrrr} -3 & 3 & 2 & -3 & -1 & 7 \\\ & & -9 & 21 & -54 & 165 \\\ \hline & 3 & -7 & 18 & -55 & 172 \end{array}
Na terceira linha temos, da esquerda para a direita, os coeficientes do quociente e, por fim, o resto 172.

Passo 4

Como o resto da divisão por (x-(-3))=(x+3) é 172, concluímos que
f(-3)=172.

Resposta

172

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