Verifique que \alpha é uma raiz de f(x), determine a sua multiplicidade r e escreva f(x)=(x-\alpha)^{r} q(x) :
f(x)=x^{9}-x^{7}-x^{6}-x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}-1, \alpha=1.

Passo 1

Estamos trabalhando com a ideia de raiz de multiplicidade de um polinômio: dizemos que \alpha é raiz de multiplicidade r de f(x) se
f(\alpha)=f'(\alpha)=\cdots=f^{(r-1)}(\alpha)=0
e f^{(r)}(\alpha)\neq0. Aqui temos
f(x)=x^{9}-x^{7}-x^{6}-x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}-1,
e queremos verificar que \alpha=1 é raiz, determinar r e escrever
f(x)=(x-1)^{r}\,q(x).

Passo 2

Calculamos primeiro f(1):
f(1)=1^{9}-1^{7}-1^{6}-1^{5}+1^{4}+1^{3}+1^{2}-1 =1-1-1-1+1+1+1-1=0.
Logo x=1 é raiz de f(x).

Passo 3

Agora checamos as derivadas em x=1:
f'(x)=9x^{8}-7x^{6}-6x^{5}-5x^{4}+4x^{3}+3x^{2}+2x,
f'(1)=9-7-6-5+4+3+2=0.
f''(x)=72x^{7}-42x^{5}-30x^{4}-20x^{3}+12x^{2}+6x+2,
f''(1)=72-42-30-20+12+6+2=0.
f'''(x)=504x^{6}-210x^{4}-120x^{3}-60x^{2}+24x+6,
f'''(1)=504-210-120-60+24+6=144\neq0.
Como f(1)=f'(1)=f''(1)=0 e f'''(1)\neq0, concluímos que a multiplicidade é r=3.

Passo 4

Para obter q(x), dividimos f(x) por (x-1)^{3} usando divisão sintética sucessiva. O quociente final é
q(x)=x^{6}+3x^{5}+5x^{4}+6x^{3}+5x^{2}+3x+1.

Resposta

A raiz \alpha=1 tem multiplicidade r=3 e
f(x)=(x-1)^{3}\bigl(x^{6}+3x^{5}+5x^{4}+6x^{3}+5x^{2}+3x+1\bigr).

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