Verifique que -2 é raiz de f(x)=2 x^{5}+7 x^{4}-18 x^{2}-8 x+8 e determine a sua multiplicidade.

Passo 1

O enunciado é para verificar que x=-2 anula o polinômio
f(x)=2x^{5}+7x^{4}-18x^{2}-8x+8
e determinar sua multiplicidade. O conteúdo envolvido é raiz de polinômio e fatoração via divisão sintética.

Passo 2

Calculamos f(-2). Em \,f(x)=2x^{5}+7x^{4}-18x^{2}-8x+8, temos
f(-2)=2(-2)^{5}+7(-2)^{4}-18(-2)^{2}-8(-2)+8 =2(-32)+7(16)-18(4)+16+8 =-64+112-72+16+8=0.
Logo, -2 é raiz de f.

Passo 3

Para encontrar a multiplicidade, dividimos f(x) por x+2 usando divisão sintética. Coeficientes de f:
2,\;7,\;0,\;-18,\;-8,\;8.
Síntese com -2:
\begin{array}{r|rrrrr} -2&2&7&0&-18&-8&8\\hline & &-4&-6&12&-6&4\\\ &2&3&-6&-6&4&\boxed{0} \end{array}
O quociente é
f_1(x)=2x^{4}+3x^{3}-6x^{2}-6x+4.

Passo 4

Verificamos f_1(-2):
f_1(-2)=2(-2)^{4}+3(-2)^{3}-6(-2)^{2}-6(-2)+4 =2\cdot16+3\cdot(-8)-6\cdot4+12+4 =32-24-24+12+4=0.
Portanto, -2 é também raiz de f_1, isto é, fator (x+2) aparece novamente.

Passo 5

Dividimos f_1(x) por x+2 com coeficientes
2,\;3,\;-6,\;-6,\;4.
Síntese com -2:
\begin{array}{r|rrrr} -2&2&3&-6&-6&4\\hline & &-4&2&8&-4\\\ &2&-1&-4&2&\boxed{0} \end{array}
Na verdade, ao final o resto seria zero novamente se tivéssemos continuado o procedimento, mas precisamos checar num próximo passo a não anulação completa.

Passo 6

Para confirmar se há terceira vez, calculamos o resto real ao continuar a sintética ou avaliamos diretamente o próximo quociente. Após duas divisões o quociente é
f_2(x)=2x^{3}-x^{2}-4x+2
e
f_2(-2)=2(-2)^{3}-(-2)^{2}-4(-2)+2 =2(-8)-4+8+2=-16-4+8+2=-10\neq0.
Logo, não há fator (x+2) adicional.

Resposta

A raiz x=-2 tem multiplicidade 2.

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