Determine f(\alpha), usando o algoritmo de Briot-Ruffini:
f(x)=2 x^{4}-6 x^{3}+3 x^{2}-7 x+6 e \alpha=3.

Passo 1

O enunciado pede para calcular f(\alpha) com \alpha=3 usando o algoritmo de Briot-Ruffini, isto é, avaliar o polinômio
f(x)=2x^{4}-6x^{3}+3x^{2}-7x+6
em x=3. Pelo teorema do resto, ao dividir f(x) por (x-3) via Briot-Ruffini, o resto dessa divisão é exatamente f(3).

Passo 2

Organizamos em linha os coeficientes de f(x) na ordem decrescente de grau e colocamos \alpha=3 à esquerda para aplicar o algoritmo:
\begin{array}{r|rrrrr} 3 & 2 & -6 & 3 & -7 & 6\\\ \hline & & & & & \end{array}

Passo 3

Aplicamos o procedimento de Briot-Ruffini: trazemos o primeiro coeficiente para baixo e, a cada passo, multiplicamos o valor obtido por 3 e somamos ao próximo coeficiente acima.
Trazemos 2 para baixo. Em seguida, multiplicamos 2 por 3, obtendo 6, e somamos a -6, resultando em 0. Multiplicamos esse 0 por 3 e somamos a 3, gerando 3. Depois, multiplicamos 3 por 3 e somamos a -7, obtendo 2. Por fim, multiplicamos 2 por 3 e somamos a 6, chegando em 12. Assim a tabela fica:
\begin{array}{r|rrrrr} 3 & 2 & -6 & 3 & -7 & 6\\\ \hline & 2 & 0 & 3 & 2 & 12 \end{array}

Passo 4

O último valor na linha de baixo é o resto da divisão de f(x) por (x-3) e, portanto, é justamente f(3).

Resposta

f(\alpha)=f(3)=12

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