Determine o quociente e o resto da divisão euclidiana de f(x) por g(x) :
f(x)=2 x^{3}+3 x^{2}-x+5 e g(x)=x+1.

Passo 1

O enunciado pede o quociente e o resto da divisão euclidiana do polinômio f(x)=2x^{3}+3x^{2}-x+5 por g(x)=x+1. O conteúdo envolvido é divisão de polinômios, em que buscamos um Q(x) e um R tais que
f(x)=g(x)\,Q(x)+R,
com \deg R<\deg g.

Passo 2

Como g(x) é de grau 1, o resto R será uma constante. Vamos usar a regra de Ruffini, que consiste em tirar a raiz de g(x)=0, isto é x=-1, e aplicar sobre os coeficientes de f.

Passo 3

Anotamos a raiz x=-1 e colocamos os coeficientes de f: 2,\,3,\,-1,\,5.
  1. Baixamos o 2.
  2. Multiplicamos -1 por 2 e somamos a 3, obtendo 1.
  3. Multiplicamos -1 por 1 e somamos a -1, obtendo -2.
  4. Multiplicamos -1 por -2 e somamos a 5, obtendo 7 (este é o resto).
Os coeficientes resultantes (além do resto) formam o quociente.

Passo 4

Os coeficientes do quociente Q(x) são, na ordem, 2,\;1,\;-2. Logo,
Q(x)=2x^{2}+x-2
e o resto é R=7.

Resposta

Quociente: 2x^{2}+x-2
Resto: 7

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