Determine quais das alternativas abaixo são verdadeiras, explique suas respostas:
\int_{1}^{-2} \frac{3 x^{2}}{4 x^{2}+1} d x=\int_{1}^{-2} \frac{3 t^{2}}{4 t^{2}+1} d t

Passo 1

O enunciado pede para verificar se \displaystyle \int_{1}^{-2}\frac{3x^{2}}{4x^{2}+1}\,dx = \displaystyle \int_{1}^{-2}\frac{3t^{2}}{4t^{2}+1}\,dt.
O conteúdo é a propriedade da variável fictícia em integrais definidas.

Passo 2

Em uma integral definida, o símbolo da variável de integração é apenas um rótulo: ao fazermos
t = x, \quad dt = dx
e não mudarmos os limites (de 1 a -2), a integral permanece inalterada. Logo, basta substituir x por t para obter
\int_{1}^{-2}\frac{3x^{2}}{4x^{2}+1}\,dx = \int_{1}^{-2}\frac{3t^{2}}{4t^{2}+1}\,dt.

Passo 3

Concluímos que a igualdade dada é verdadeira, pois trocar o nome da variável de integração não altera o valor da integral.

Resposta

Verdadeira

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