Os vértices de um tetraedro são e e é um ponto pertencente ao eixo coordenado OZ. Calcule:
a)as coordenadas do ponto P de modo que o tetraedro MNPQ tenha volume igual a 1 uv;
b)a área e o perímetro da face NMQ;
c) os ângulos internos da face MNQ;
d)calcule a altura do tetraedro MNPQ, relativa à face MNQ.
RESP: a) ou
b) u.a., u.c.
c)
Passo 1
O enunciado dá um tetraedro com vértices e sobre o eixo , isto é .
(a) Para achar tal que o volume seja usamos a fórmula do volume via produto misto:
(b) A área de triang<= NMQ vem do módulo do produto vetorial de dois lados, e o perímetro é a soma dos comprimentos dos três lados.
(c) Os ângulos internos usam produto escalar entre pares de vetores que partem de cada vértice.
(d) A altura relativa à face MNQ satisfaz
V=13,(área de MNQ)times(a<ura) á
Passo 2
Defina PM=M-P=(0,;3,;4-z), PN=N-P=(-1,;2,;2-z), PQ=Q-P=(2,;-1,;2-z).
O determinante é
det 0 & 3 & 4-z -1&2&2-z 2&-1&2-z =6(1-z)
Logo
V=16l|6(1-z)r|=|1-z|
Impondo V=1 dá 1-z=pm1, ou seja z=0 ou z=2.
Portanto
P=(0,0,0)ou P=(0,0,2)
Passo 3
Calcule os vetores dos lados de triang<= NMQ: NM=M-N=(1,1,2), NQ=Q-N=(3,-3,0), MQ=Q-M=(2,-4,-2).
Seus comprimentos são
|NM|=raiz6, |NQ|=3raiz2, |MQ|=2raiz6
A área é
12l|NMtimesNQr| =12raiz108 =3raiz3
O perímetro é
raiz6+3raiz2+2raiz6 =3raiz6+3raiz2
Passo 4
Use produto escalar para cada ângulo. Por exemplo, o ângulo em N está entre NM e NQ: NMcdotNQ=0, logo esse ângulo é 90^circ.
Analogamente nos outros vértices obtêm-se 30^circ e 60^circ.
Passo 5
A altura h relativa à face MNQ satisfaz
1=V=13,(3raiz3);h Longrightarrow h=1raiz3
Resposta
a) P=(0,0,0) ou P=(0,0,2).
b) Área =3raiz3 u.a., perímetro =3raiz6+3raiz2 u.c.
c) Ângulos 30^circ,;90^circ,;60^circ.
d) Altura relativa à face MNQ: 1raiz3.