Os vértices de um tetraedro são M(0,3,4), N(-1,2,2) e Q(2,-1,2) e P é um ponto pertencente ao eixo coordenado OZ. Calcule:
a)as coordenadas do ponto P de modo que o tetraedro MNPQ tenha volume igual a 1 uv;
b)a área e o perímetro da face NMQ;
c) os ângulos internos da face MNQ;
d)calcule a altura do tetraedro MNPQ, relativa à face MNQ.
RESP: a) P(0,0,0) ou P(0,0,2)
b) S=3 raiz3 u.a., 2 p=3 raiz6+3 raiz12 u.c.
c) alpha=30^circ, beta=90^circ, gamma=60^circ

Passo 1

O enunciado dá um tetraedro com vértices
,M(0,3,4),;N(-1,2,2),;Q(2,-1,2) e P sobre o eixo OZ, isto é P=(0,0,z).
(a) Para achar z tal que o volume seja 1 usamos a fórmula do volume via produto misto:
V=16l|det(PM,PN,PQ)r|
(b) A área de triang<= NMQ vem do módulo do produto vetorial de dois lados, e o perímetro é a soma dos comprimentos dos três lados.
(c) Os ângulos internos usam produto escalar entre pares de vetores que partem de cada vértice.
(d) A altura relativa à face MNQ satisfaz
V=13,(área de MNQ)times(a<ura) á

Passo 2

Defina
PM=M-P=(0,;3,;4-z),
PN=N-P=(-1,;2,;2-z),
PQ=Q-P=(2,;-1,;2-z).
O determinante é
det 0 & 3 & 4-z -1&2&2-z 2&-1&2-z =6(1-z)
Logo
V=16l|6(1-z)r|=|1-z|
Impondo V=1 1-z=pm1, ou seja z=0 ou z=2.
Portanto
P=(0,0,0)ou P=(0,0,2)

Passo 3

Calcule os vetores dos lados de triang<= NMQ:
NM=M-N=(1,1,2),
NQ=Q-N=(3,-3,0),
MQ=Q-M=(2,-4,-2).
Seus comprimentos são
|NM|=raiz6, |NQ|=3raiz2, |MQ|=2raiz6
A área é
12l|NMtimesNQr| =12raiz108 =3raiz3
O perímetro é
raiz6+3raiz2+2raiz6 =3raiz6+3raiz2

Passo 4

Use produto escalar para cada ângulo. Por exemplo, o ângulo em N está entre NM e NQ:
NMcdotNQ=0, logo esse ângulo é 90^circ.
Analogamente nos outros vértices obtêm-se 30^circ e 60^circ.

Passo 5

A altura h relativa à face MNQ satisfaz
1=V=13,(3raiz3);h Longrightarrow h=1raiz3

Resposta

a) P=(0,0,0) ou P=(0,0,2).
b) Área =3raiz3 u.a., perímetro =3raiz6+3raiz2 u.c.
c) Ângulos 30^circ,;90^circ,;60^circ.
d) Altura relativa à face MNQ: 1raiz3.

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