1 Determine o ângulo interno, correspondente ao vértice C, do triângulo cujos vértices são A(1,7,6), B(3,4,4) e C=(4,5,2).
2 Os pontos A(2,5,7), F(3,3,5), G(6,-3,-1) são colineares? Justifique utilizando produto de número real por vetor.

Passo 1

O enunciado pede dois itens de geometria vetorial em \mathbb{R}^3:
  1. o ângulo interno no vértice C do triângulo com vértices A(1,7,6), B(3,4,4), C(4,5,2);
  2. verificar se os pontos A(2,5,7), F(3,3,5) e G(6,-3,-1) são colineares usando produto de número real por vetor.
Para o item 1 vamos usar o produto escalar e norma de vetores para achar o cosseno do ângulo e depois a função arco cosseno. Para o item 2 calculamos vetores \overrightarrow{AF} e \overrightarrow{AG} e checamos se um é múltiplo escalar do outro.

Passo 2

Calcular os vetores que formam o ângulo em C:
\overrightarrow{CA} = A - C = (1-4,\;7-5,\;6-2) = (-3,\,2,\,4),
\overrightarrow{CB} = B - C = (3-4,\;4-5,\;4-2) = (-1,\,-1,\,2).

Passo 3

Obter produto escalar e normas:
\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB} =(-3)(-1)+2(-1)+4\cdot2 =3-2+8=9.
\|\overrightarrow{CA}\|=\sqrt{(-3)^2+2^2+4^2}=\sqrt{9+4+16}=\sqrt{29}, \quad \|\overrightarrow{CB}\|=\sqrt{(-1)^2+(-1)^2+2^2}=\sqrt{1+1+4}=\sqrt{6}.

Passo 4

Aplicar a fórmula do cosseno do ângulo \gamma=\angle ACB:
\cos\gamma =\frac{\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}}{\|\overrightarrow{CA}\|\;\|\overrightarrow{CB}\|} =\frac{9}{\sqrt{29}\,\sqrt{6}} =\frac{9}{\sqrt{174}}.
Logo
\gamma =\operatorname{arccos}\!\Bigl(\frac{9}{\sqrt{174}}\Bigr).

Passo 5

Aproximando em graus,
\gamma\approx \operatorname{arccos}(0,6824)\approx 46,9^\circ.

Passo 6

Para colinearidade, calcular
\overrightarrow{AF}=F-A=(3-2,\;3-5,\;5-7)=(1,-2,-2),
\overrightarrow{AG}=G-A=(6-2,\;-3-5,\;-1-7)=(4,-8,-8).

Passo 7

Observa-se que
\overrightarrow{AG}=4\,(1,-2,-2) =4\,\overrightarrow{AF},
portanto \overrightarrow{AG} é múltiplo escalar de \overrightarrow{AF} e os pontos são colineares.

Resposta

(1) \displaystyle \angle ACB = \operatorname{arccos}\!\Bigl(\tfrac{9}{\sqrt{174}}\Bigr)\approx 46,9^\circ.
(2) Sim. Como \overrightarrow{AG}=4\,\overrightarrow{AF}, os três pontos são colineares.

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