1 Determine o ângulo interno, correspondente ao vértice C, do triângulo cujos vértices são A(1,7,6), B(3,4,4) e C=(4,5,2).
2 Os pontos A(2,5,7), F(3,3,5), G(6,-3,-1) são colineares? Justifique utilizando produto de número real por vetor.
Passo 1
O enunciado pede dois itens de geometria vetorial em \mathbb{R}^3:
o ângulo interno no vértice C do triângulo com vértices A(1,7,6), B(3,4,4), C(4,5,2);
verificar se os pontos A(2,5,7), F(3,3,5) e G(6,-3,-1) são colineares usando produto de número real por vetor.
Para o item 1 vamos usar o produto escalar e norma de vetores para achar o cosseno do ângulo e depois a função arco cosseno. Para o item 2 calculamos vetores \overrightarrow{AF} e \overrightarrow{AG} e checamos se um é múltiplo escalar do outro.
Passo 2
Calcular os vetores que formam o ângulo em C:
\overrightarrow{CA} = A - C = (1-4,\;7-5,\;6-2) = (-3,\,2,\,4),
\overrightarrow{CB} = B - C = (3-4,\;4-5,\;4-2) = (-1,\,-1,\,2).
portanto \overrightarrow{AG} é múltiplo escalar de \overrightarrow{AF} e os pontos são colineares.
Resposta
(1) \displaystyle \angle ACB = \operatorname{arccos}\!\Bigl(\tfrac{9}{\sqrt{174}}\Bigr)\approx 46,9^\circ.
(2) Sim. Como \overrightarrow{AG}=4\,\overrightarrow{AF}, os três pontos são colineares.