3 Determine a equação cartesiana do plano \pi que contém a reta r=(1+t, 1-t, 2 t) e o ponto A=(3,2,5).

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos a equação cartesiana do plano \pi que contém a reta
r:\;(x,y,z)=(1+t,\;1-t,\;2t)
e o ponto A=(3,2,5). Para isso vamos extrair um ponto e o vetor diretor da reta, formar um vetor ligando esse ponto a A, calcular o vetor normal ao plano por produto vetorial e, por fim, montar a equação do plano.

Passo 2

Da parametrização de r, para t=0 obtemos um ponto da reta
P_{0}=(1,1,0)
e o vetor diretor
\vec v=(1,\,-1,\;2).

Passo 3

O vetor que liga P_{0} ao ponto A é
\vec w = A - P_{0} = (3-1,\;2-1,\;5-0) = (2,\;1,\;5).

Passo 4

O vetor normal ao plano é dado pelo produto vetorial \vec n = \vec v \times \vec w:
\vec n = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\\ 1 & -1 & 2\\\\ 2 & 1 & 5 \end{vmatrix} = (-7,\,-1,\;3).
Multiplicando por -1 (o que não altera a direção de \vec n), podemos usar
\vec n=(7,\;1,\;-3).

Passo 5

A equação do plano com normal \vec n=(7,1,-3) passando por P_{0}=(1,1,0) é
7(x-1) + 1(y-1) -3(z-0) = 0,
que se expande para
7x + y - 3z = 8.

Resposta

7x + y - 3z = 8

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