3 Determine a equação cartesiana do plano \pi que contém a reta r=(1+t, 1-t, 2 t) e o ponto A=(3,2,5).
Passo 1
Resumindo o enunciado: queremos a equação cartesiana do plano \pi que contém a reta
r:\;(x,y,z)=(1+t,\;1-t,\;2t)
e o ponto A=(3,2,5). Para isso vamos extrair um ponto e o vetor diretor da reta, formar um vetor ligando esse ponto a A, calcular o vetor normal ao plano por produto vetorial e, por fim, montar a equação do plano.
Passo 2
Da parametrização de r, para t=0 obtemos um ponto da reta
P_{0}=(1,1,0)
e o vetor diretor
\vec v=(1,\,-1,\;2).
Passo 3
O vetor que liga P_{0} ao ponto A é
\vec w = A - P_{0} = (3-1,\;2-1,\;5-0) = (2,\;1,\;5).
Passo 4
O vetor normal ao plano é dado pelo produto vetorial \vec n = \vec v \times \vec w: