1 Encontre a equação cartesiana do plano que passa pelo ponto (-2,8,10) e é perpendicular à reta r=(3+2 t, 1-2 t, 3+t).

Passo 1

O enunciado pede a equação de um plano em \mathbb{R}^3 que (i) passa pelo ponto P_0 = (-2,8,10) e (ii) é perpendicular à reta
r(t) = (3+2t,\;1-2t,\;3+t).
Conteúdo: geometria analítica no espaço, mais especificamente plano determinado por um ponto e um vetor normal.

Passo 2

Para achar o vetor normal do plano, observamos que plano e reta são perpendiculares, logo a direção da reta é normal ao plano. Da equação paramétrica
r(t)=(3+2t,\;1-2t,\;3+t)
extraímos o vetor direção
\mathbf{v} = (2,\,-2,\,1).

Passo 3

Como \mathbf{v} é normal ao plano, podemos tomar
\mathbf{n} = (2,\,-2,\,1).

Passo 4

A forma ponto-normal do plano com normal \mathbf{n}=(a,b,c) e ponto P_0=(x_0,y_0,z_0) é
a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0.
Aqui a=2, b=-2, c=1 e (x_0,y_0,z_0)=(-2,8,10). Substituindo,
2\bigl(x-(-2)\bigr)\;-\;2\bigl(y-8\bigr)\;+\;1\bigl(z-10\bigr)=0.
Expandindo,
2(x+2)-2(y-8)+(z-10)=0
2x+4-2y+16+z-10=0
2x-2y+z+10=0.

Resposta

A equação cartesiana do plano é
2x - 2y + z + 10 = 0.

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