Determine o ângulo menor entre as retas
a) 2 x+3 y=1 e y=-5 x+8;
b) x+y+1=0 e x=1-2 t, y=2+5 t.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o menor ângulo entre duas retas. Na geometria analítica, podemos ou (i) extrair os coeficientes angulares m1 e m2 e usar
tantheta = |m2 - m11 + m1 m2|
ou (ii) obter vetores diretores u e v e usar
theta = arccos!gl| ucdot v| u|| v|gr|
Aqui vamos usar a fórmula com coeficientes angulares.

Passo 2

(a) As retas são
2x + 3y = 1 Longrightarrow y = -tfrac23x + tfrac13,
y = -5x + 8
Logo
m1 = -tfrac23, m2 = -5

Passo 3

Aplicando
tantheta = |m2 - m11 + m1 m2| = |-5 - (-tfrac23)1 + l(-tfrac23r)(-5)| = |-tfrac153 + tfrac231 + tfrac103| = |-tfrac133tfrac133| = 1
Logo
theta = arctan(1) = 45^circ

Passo 4

(b) A primeira reta é
x + y + 1 = 0 Longrightarrow y = -x - 1,
portanto m1 = -1. A segunda reta está em forma paramétrica
x = 1 - 2t, y = 2 + 5t,
logo um vetor diretor é v = (-2,5) e seu coeficiente angular é
m2 = 5-2 = -tfrac52

Passo 5

Usando novamente
tantheta = |m2 - m11 + m1 m2| = |-tfrac52 - (-1)1 + (-1)l(-tfrac52r)| = |-tfrac52 + 11 + tfrac52| = |-tfrac32tfrac72| = 37
Portanto
theta = arctan!l(tfrac37r)approx 23,2^circ

Resposta

(a) 45^circ
(b) arctanl(tfrac37r)approx 23,2^circ

Exercícios relacionados