Verifique se a seguinte transformação linear é diagonalizável.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se a transformação linear definida por é diagonalizável. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como matrizes, autovalores, autovetores e a condição de diagonalização. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos representar a transformação linear como uma matriz. Como atua em um espaço de 4 dimensões (), a matriz será de . Observando as componentes de , podemos construir a matriz correspondente:
Passo 3
Agora, para verificar se A é diagonalizável, precisamos encontrar seus autovalores e verificar se há um conjunto completo de autovetores linearmente independentes. Em outras palavras, queremos que a soma das multiplicidades geométrica dos autovalores seja igual à dimensão do espaço, que aqui é 4.
Passo 4
Vamos começar encontrando os autovalores de A . Para isso, calculamos o determinante det(A - lambda I) = 0 , onde I é a matriz identidade e lambda são os autovalores.
Portanto, os autovalores são lambda1 = 7 + 5raiz2 , lambda2 = 7 - 5raiz2 , lambda3 = 4i e lambda4 = -4i .
Passo 7
Agora, precisamos verificar se cada autovalor tem pelo menos uma base de autovetores e se o número total de autovetores é 4 (a dimensão do espaço). Geralmente, se todos os autovalores são distintos, a matriz é diagonalizável. Observando os autovalores:
lambda1 e lambda2 são reais e distintos.
lambda3 e lambda4 são complexos e distintos.
Como todos os autovalores são diferentes, cada um terá uma dimensão de espaço vetorial de 1 (ou seja, um único autovetor associado), totalizando 4 autovetores linearmente independentes.
Passo 8
Com 4 autovetores linearmente independentes para uma matriz 4 times 4 , podemos concluir que a matriz A (e, portanto, a transformação linear T ) é diagonalizável. Isso significa que existe uma matriz invertível P e uma matriz diagonal D tal que: