Verifique se a seguinte transformação linear T(x, y, z, t)=(7 x-10 y, 5 x-7 y, 8 z-5 t, 16 z-8 t) é diagonalizável.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se a transformação linear T definida por T(x, y, z, t) = (7x - 10y, 5x - 7y, 8z - 5t, 16z - 8t) é diagonalizável. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como matrizes, autovalores, autovetores e a condição de diagonalização. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos representar a transformação linear T como uma matriz. Como T atua em um espaço de 4 dimensões ( R^4 ), a matriz será de 4 times 4 . Observando as componentes de T(x, y, z, t) , podemos construir a matriz A correspondente:
A = 7 & -10 & 0 & 0 5 & -7 & 0 & 0 0 & 0 & 8 & -5 0 & 0 & 16 & -8

Passo 3

Agora, para verificar se A é diagonalizável, precisamos encontrar seus autovalores e verificar se há um conjunto completo de autovetores linearmente independentes. Em outras palavras, queremos que a soma das multiplicidades geométrica dos autovalores seja igual à dimensão do espaço, que aqui é 4.

Passo 4

Vamos começar encontrando os autovalores de A . Para isso, calculamos o determinante det(A - lambda I) = 0 , onde I é a matriz identidade e lambda são os autovalores.
det(A - lambda I) = det 7 - lambda & -10 & 0 & 0 5 & -7 - lambda & 0 & 0 0 & 0 & 8 - lambda & -5 0 & 0 & 16 & -8 - lambda = 0
Note que a matriz A é uma matriz em bloco diagonal, ou seja, podemos calcular os determinantes dos blocos separadamente:
det(A - lambda I) = det 7 - lambda & -10 5 & -7 - lambda times det 8 - lambda & -5 16 & -8 - lambda = 0

Passo 5

Vamos calcular cada determinante:
Primeiro bloco:
det 7 - lambda & -10 5 & -7 - lambda = (7 - lambda)(-7 - lambda) - (-10)(5) = ( -49 + 7lambda + 7lambda - lambda^2 ) + 50 = -lambda^2 + 14lambda + 1
Segundo bloco:
det 8 - lambda & -5 16 & -8 - lambda = (8 - lambda)(-8 - lambda) - (-5)(16) = ( -64 - 8lambda + 8lambda + lambda^2 ) + 80 = lambda^2 + 16
Então, a equação característica fica:
(-lambda^2 + 14lambda + 1)(lambda^2 + 16) = 0

Passo 6

Vamos resolver (-lambda^2 + 14lambda + 1) = 0 e lambda^2 + 16 = 0 :
Para o primeiro:
lambda^2 - 14lambda - 1 = 0 implies lambda = 14 pm raiz196 + 42 = 14 pm raiz2002 = 7 pm 5raiz2
Para o segundo:
lambda^2 + 16 = 0 implies lambda = pm 4i
Portanto, os autovalores são lambda1 = 7 + 5raiz2 , lambda2 = 7 - 5raiz2 , lambda3 = 4i e lambda4 = -4i .

Passo 7

Agora, precisamos verificar se cada autovalor tem pelo menos uma base de autovetores e se o número total de autovetores é 4 (a dimensão do espaço). Geralmente, se todos os autovalores são distintos, a matriz é diagonalizável. Observando os autovalores:
  • lambda1 e lambda2 são reais e distintos.
  • lambda3 e lambda4 são complexos e distintos.
Como todos os autovalores são diferentes, cada um terá uma dimensão de espaço vetorial de 1 (ou seja, um único autovetor associado), totalizando 4 autovetores linearmente independentes.

Passo 8

Com 4 autovetores linearmente independentes para uma matriz 4 times 4 , podemos concluir que a matriz A (e, portanto, a transformação linear T ) é diagonalizável. Isso significa que existe uma matriz invertível P e uma matriz diagonal D tal que:
A = P D P^-1

Resposta

Sim, a transformação linear T é diagonalizável.

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