Seja V o espaço das funções polinomiais p: R R que tem grau 2 ou menor:
p(x)=a x^2+b x+c
Defina três funcionais lineares sobre V por
f1(p)=integral0^1 p(x) d x, f2(p)=p^prime(1) e f3(p)=p(0)
Mostre que f1, f2, f3 é uma base para V^* exibindo uma base para V da qual ela é a base dual.

Passo 1

O enunciado define o espaço V das polinomiais de grau <=2 e três funcionais lineares
f1(p)=integral0^1p(x),dx, f2(p)=p'(1), f3(p)=p(0)
Queremos mostrar que f1,f2,f3 é base de V^*. Para isso, vamos exibir uma base v1,v2,v3 de V tal que
fi(vj)=de<aij, i,jin1,2,3,
isto é, f1,f2,f3 será a base dual de v1,v2,v3.

Passo 2

Escrevemos um polinômio genérico de grau <=2 como
v(x)=a x^2 + b x + c
Para cada kin1,2,3 vamos achar (a,b,c) tal que
(f1(v),,f2(v),,f3(v)) = (1,0,0), & se k=1, (0,1,0), & se k=2, (0,0,1), & se k=3
Note que
f1(v)=integral0^1(ax^2+bx+c),dx = a3 + b2 + c,
f2(v)=v'(1)=2acdot1 + b = 2a + b,
f3(v)=v(0)=c

Passo 3

Para
De . Substituindo na primeira:
Logo

Passo 4

Para
De . Substituindo:
Logo

Passo 5

Para
De . Substituindo:
Logo

Passo 6

Verificamos diretamente que para i,jin1,2,3 vale
fi(vj)=de<aij
Assim v1,v2,v3 é base de V e f1,f2,f3 é a sua base dual. Portanto f1,f2,f3 é base de V^*.

Resposta

Uma base de V cuja base dual é f1,f2,f3 é
v1(x) = -tfrac32x^2 + 3x, v2(x) = tfrac34x^2 - tfrac12x, v3(x) = tfrac32x^2 -3x +1

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