Seja
o espaço das funções polinomiais
que tem grau 2 ou menor:
Defina três funcionais lineares sobre
por
Mostre que
é uma base para
exibindo uma base para
da qual ela é a base dual.
Passo 1
O enunciado define o espaço
das polinomiais de grau
e três funcionais lineares
Queremos mostrar que
é base de
. Para isso, vamos exibir uma base
de
tal que
isto é,
será a base dual de
.
Passo 2
Escrevemos um polinômio genérico de grau
como
Para cada
vamos achar
tal que
Note que
Passo 3
Para
De . Substituindo na primeira:
Logo
Passo 4
Para
De . Substituindo:
Logo
Passo 5
Para
De . Substituindo:
Logo
Passo 6
Verificamos diretamente que para
i,jin1,2,3 vale
Assim
v1,v2,v3 é base de
V e
f1,f2,f3 é a sua base dual. Portanto
f1,f2,f3 é base de
V^* .
Resposta
Uma base de
V cuja base dual é
f1,f2,f3 é