Seja V o espaço das funções polinomiais p: R R que tem grau 2 ou menor:
p(x)=a x^2+b x+c
Defina três funcionais lineares sobre V por
f1(p)=integral0^1 p(x) d x, f2(p)=integral0^2 p(x) d x e f3(p)=integral0^-1 p(x) d x
Mostre que f1, f2, f3 é uma base para V^* exibindo uma base para V da qual ela é a base dual.

Passo 1

O enunciado define

e os funcionais

Como , , basta achar uma base de tal que
.

Passo 2

Seja
p(x)=a x^2+b x+c.
Então
f1(p)=integral0^1p(x),dx=a3+b2+c, f2(p)=integral0^2p(x),dx=8a3+2b+2c, f3(p)=integral0^-1p(x),dx=-a3+b2-c
Para p1 impomos
f1(p1)=1, f2(p1)=0, f3(p1)=0
o que dá o sistema (multiplicando por 6 ou 3 para eliminar denominadores):
2a+3b+6c=6, 8a+6b+6c=0, -2a+3b-6c=0

Passo 3

Resolvendo
2a+3b+6c=6,8a+6b+6c=0,-2a+3b-6c=0,
acha-se
a=-tfrac32, b=1, c=1.
Logo
p1(x)=-tfrac32x^2+x+1,
e de fato f1(p1)=1, f2(p1)=f3(p1)=0.

Passo 4

Para p2 impomos
f1(p2)=0, f2(p2)=1, f3(p2)=0,
levando ao sistema
2a+3b+6c=0,8a+6b+6c=3,-2a+3b-6c=0,
cuja solução é
a=tfrac12, b=0, c=-tfrac16.
Logo
p2(x)=tfrac12x^2-tfrac16,
com f2(p2)=1 e f1(p2)=f3(p2)=0.

Passo 5

Para p3 impomos
f1(p3)=0, f2(p3)=0, f3(p3)=1,
obtendo
2a+3b+6c=0,8a+6b+6c=0,-2a+3b-6c=6,
cuja solução é
a=-tfrac12, b=1, c=-tfrac13.
Assim
p3(x)=-tfrac12x^2+x-tfrac13,
e f3(p3)=1, f1(p3)=f2(p3)=0.

Passo 6

Como p1,p2,p3 é base de V e satisfaz fi(pj)=de<aij, segue que f1,f2,f3 é a base dual dessa base, logo é base de V^*.

Resposta

Uma base de V cuja base dual é f1,f2,f3 é
p1(x)=-tfrac32,x^2+x+1, p2(x)=tfrac12,x^2-tfrac16, p3(x)=-tfrac12,x^2+x-tfrac13

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