Seja
o espaço das funções polinomiais
que tem grau 2 ou menor:
Defina três funcionais lineares sobre
por
Mostre que
é uma base para
exibindo uma base para
da qual ela é a base dual.
Passo 1
O enunciado define
e os funcionais
Como ,
, basta achar uma base
de
tal que
.
e os funcionais
Como
Passo 2
Seja
.
Então
Então
Para
impomos
o que dá o sistema (multiplicando por
ou
para eliminar denominadores):
Passo 3
Resolvendo
2a+3b+6c=6,8a+6b+6c=0,-2a+3b-6c=0 ,
acha-se
a=-tfrac32, b=1, c=1 .
Logo
acha-se
Logo
e de fato
f1(p1)=1 ,
f2(p1)=f3(p1)=0 .
Passo 4
Para
p2 impomos
f1(p2)=0, f2(p2)=1, f3(p2)=0 ,
levando ao sistema
levando ao sistema
cuja solução é
a=tfrac12, b=0, c=-tfrac16 .
Logo
Logo
com
f2(p2)=1 e
f1(p2)=f3(p2)=0 .
Passo 5
Para
p3 impomos
f1(p3)=0, f2(p3)=0, f3(p3)=1 ,
obtendo
obtendo
cuja solução é
a=-tfrac12, b=1, c=-tfrac13 .
Assim
Assim
e
f3(p3)=1 ,
f1(p3)=f2(p3)=0 .
Passo 6
Como
p1,p2,p3 é base de
V e satisfaz
fi(pj)=de<aij , segue que
f1,f2,f3 é a base dual dessa base, logo é base de
V^* .
Resposta
Uma base de
V cuja base dual é
f1,f2,f3 é