Determine o ângulo (entre 0 e π ) entre os seguintes vetores de R^3 :
(0,1,0) e (1,0,1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar o ângulo entre dois vetores no espaço tridimensional, ou seja, em R^3. Os vetores dados são (0,1,0) e (1,0,1). Para isso, vamos precisar usar o conceito de produto escalar e a fórmula que relaciona o produto escalar com os ângulos entre vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o produto escalar entre dois vetores. Se tivermos dois vetores u = (u1, u2, u3) e v = (v1, v2, v3), o produto escalar é dado por:
u cdot v = u1v1 + u2v2 + u3v3
Nesse caso, nossos vetores são u = (0,1,0) e v = (1,0,1). Vamos calcular o produto escalar deles.

Passo 3

Aplicando a fórmula do produto escalar:
u cdot v = (0)(1) + (1)(0) + (0)(1) = 0 + 0 + 0 = 0
Então, o produto escalar entre u e v é 0.

Passo 4

Agora, sabemos que o produto escalar também pode ser expresso pela fórmula:
u cdot v = |u| cdot |v| cdot cos(theta)
onde |u| e |v| são os módulos (ou comprimentos) dos vetores, e theta é o ângulo entre eles. Como o produto escalar deu 0, podemos usar essa informação para encontrar theta.

Passo 5

Primeiro, vamos calcular os módulos dos vetores. A fórmula para o módulo de um vetor u = (u1, u2, u3) é:
|u| = raizu1^2 + u2^2 + u3^2
Calculando para u = (0,1,0):
|u| = raiz0^2 + 1^2 + 0^2 = raiz1 = 1
E para v = (1,0,1):
|v| = raiz1^2 + 0^2 + 1^2 = raiz1 + 0 + 1 = raiz2

Passo 6

Agora, voltando à fórmula do produto escalar:
0 = 1 cdot raiz2 cdot cos(theta)
Isso simplifica para:
0 = raiz2 cdot cos(theta)
Para essa equação ser verdadeira, cos(theta) deve ser 0, porque raiz2 não é zero.

Passo 7

Sabemos que cos(theta) = 0 quando o ângulo theta é pi2 radianos, que é 90 graus. Então, o ângulo entre os vetores (0,1,0) e (1,0,1) é de 90 graus.

Resposta

O ângulo entre os vetores (0,1,0) e (1,0,1) é pi2 radianos.

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