Determine o ângulo (entre 0 e
) entre os seguintes vetores de
:
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar o ângulo entre dois vetores no espaço tridimensional, ou seja, em
. Os vetores dados são
e
. Para isso, vamos precisar usar o conceito de produto escalar e a fórmula que relaciona o produto escalar com os ângulos entre vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o produto escalar entre dois vetores. Se tivermos dois vetores
e
, o produto escalar é dado por:
Nesse caso, nossos vetores são
e
. Vamos calcular o produto escalar deles.
Passo 3
Aplicando a fórmula do produto escalar:
Então, o produto escalar entre
e
é 0.
Passo 4
Agora, sabemos que o produto escalar também pode ser expresso pela fórmula:
onde
e
são os módulos (ou comprimentos) dos vetores, e
é o ângulo entre eles. Como o produto escalar deu 0, podemos usar essa informação para encontrar
.
Passo 5
Primeiro, vamos calcular os módulos dos vetores. A fórmula para o módulo de um vetor
é:
Calculando para
:
E para
:
Passo 6
Agora, voltando à fórmula do produto escalar:
Isso simplifica para:
Para essa equação ser verdadeira,
deve ser 0, porque
não é zero.
Passo 7
Sabemos que
quando o ângulo
é
radianos, que é 90 graus. Então, o ângulo entre os vetores
e
é de 90 graus.
Resposta
O ângulo entre os vetores
e
é
radianos.