Determine o ângulo entre:
r: X=(1,2,3)+\lambda(1,1,1), \lambda \in \mathbb{R} e \pi: x+y+z+1=0

Passo 1

O enunciado pede para determinar o ângulo entre a reta r e o plano \pi. Dados fornecidos:
r: X=(1,2,3)+\lambda(1,1,1),\quad \lambda\in\mathbb{R}
\pi: x+y+z+1=0
O que se quer: o valor do ângulo entre a reta r e o plano \pi.

Passo 2

Identificar o vetor diretor da reta r.
Na forma paramétrica X=P+\lambda v, o vetor v é o vetor diretor. Aqui extraímos:
v=(1,1,1).
Explicação rápida: na escrita X=(1,2,3)+\lambda(1,1,1) o termo multiplicado por \lambda é justamente o vetor que indica a direção da reta.

Passo 3

Identificar o vetor normal do plano \pi.
Para um plano dado por ax+by+cz+d=0, o vetor normal é n=(a,b,c). No nosso caso os coeficientes de x,y,z são todos 1, então
n=(1,1,1).
Explicação: o vetor normal é um vetor perpendicular ao plano; ele vem diretamente dos coeficientes da equação cartesiana do plano.

Passo 4

Explicar a relação entre ângulo da reta com o plano e o ângulo entre vetores v e n.
Se \theta é o ângulo entre o vetor diretor v da reta e o vetor normal n do plano, então o ângulo \alpha entre a reta e o plano satisfaz
\alpha = 90^\circ - \theta.
Raciocínio: o vetor normal é perpendicular ao plano. Se v faz ângulo \theta com n, então a diferença para 90^\circ é o ângulo entre v e qualquer direção dentro do plano — precisamente o ângulo entre a reta e o plano.

Passo 5

Calcular o ângulo \theta entre os vetores v e n usando produto escalar.
Fórmula: para dois vetores a e b,
a\cdot b = \|a\|\|b\|\cos\theta,
onde \|a\| é a norma (comprimento) de a dada por \|a\|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}. Aplicando a v e n:
v\cdot n = 1\cdot1 + 1\cdot1 + 1\cdot1 = 3.
\|v\| = \sqrt{1^2+1^2+1^2}=\sqrt{3},\qquad \|n\|=\sqrt{3}.
Logo
\cos\theta = \frac{v\cdot n}{\|v\|\|n\|}=\frac{3}{\sqrt{3}\,\sqrt{3}}=\frac{3}{3}=1.
Portanto \theta=\operatorname{arccos}(1)=0^\circ. Interpretação: os vetores v e n são paralelos (mesma direção).

Passo 6

Determinar o ângulo \alpha entre a reta e o plano usando \alpha=90^\circ-\theta. Com \theta=0^\circ,
\alpha = 90^\circ - 0^\circ = 90^\circ.
Interpretação final: como o vetor diretor da reta é paralelo ao vetor normal do plano, a reta é perpendicular ao plano, e o ângulo entre eles é 90^\circ (ou \pi/2 rad).

Resposta

\,90^\circ (ou \pi/2 rad)

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