Determine o ângulo entre:
e
Passo 1
O enunciado pede para determinar o ângulo entre a reta
e o plano
. Dados fornecidos:
O que se quer: o valor do ângulo entre a reta
e o plano
.
Passo 2
Identificar o vetor diretor da reta
.
Na forma paramétrica , o vetor
é o vetor diretor. Aqui extraímos:
Na forma paramétrica
Explicação rápida: na escrita
o termo multiplicado por
é justamente o vetor que indica a direção da reta.
Passo 3
Identificar o vetor normal do plano
.
Para um plano dado por , o vetor normal é
. No nosso caso os coeficientes de
são todos
, então
Para um plano dado por
Explicação: o vetor normal é um vetor perpendicular ao plano; ele vem diretamente dos coeficientes da equação cartesiana do plano.
Passo 4
Explicar a relação entre ângulo da reta com o plano e o ângulo entre vetores
e
.
Se é o ângulo entre o vetor diretor
da reta e o vetor normal
do plano, então o ângulo
entre a reta e o plano satisfaz
Se
Raciocínio: o vetor normal é perpendicular ao plano. Se
faz ângulo
com
, então a diferença para
é o ângulo entre
e qualquer direção dentro do plano — precisamente o ângulo entre a reta e o plano.
Passo 5
Calcular o ângulo
entre os vetores
e
usando produto escalar.
Fórmula: para dois vetores e
,
Fórmula: para dois vetores
onde
é a norma (comprimento) de
dada por
. Aplicando a
e
:
Logo
Portanto
. Interpretação: os vetores
e
são paralelos (mesma direção).
Passo 6
Determinar o ângulo
entre a reta e o plano usando
. Com
,
Interpretação final: como o vetor diretor da reta é paralelo ao vetor normal do plano, a reta é perpendicular ao plano, e o ângulo entre eles é
(ou
rad).