(a) Determine 0 ângulo entre os planos x+y+z=1 e x-2 y+3 z=1.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar o ângulo entre os planos x + y + z = 1 e x - 2y + 3z = 1. Esse problema envolve geometria analítica, mais especificamente o estudo de planos no espaço tridimensional. Para resolver, vamos precisar entender como identificar os vetores normais dos planos e usar a fórmula do ângulo entre esses vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores normais de cada plano. Em geral, para um plano da forma Ax + By + Cz = D, o vetor normal é n = (A, B, C).
  • Para o primeiro plano x + y + z = 1, o vetor normal é n1 = (1, 1, 1).
  • Para o segundo plano x - 2y + 3z = 1, o vetor normal é n2 = (1, -2, 3).

Passo 3

Agora, vamos usar a fórmula para encontrar o ângulo theta entre os dois vetores normais n1 e n2. A fórmula é:
cos theta = n1 cdot n2|n1| times |n2|
Onde:
  • n1 cdot n2 é o produto escalar dos vetores.
  • |n1| e |n2| são as magnitudes (ou normas) dos vetores.

Passo 4

Vamos calcular o produto escalar n1 cdot n2:
n1 cdot n2 = (1)(1) + (1)(-2) + (1)(3) = 1 - 2 + 3 = 2

Passo 5

Agora, calculamos as magnitudes dos vetores:
|n1| = raiz1^2 + 1^2 + 1^2 = raiz1 + 1 + 1 = raiz3
|n2| = raiz1^2 + (-2)^2 + 3^2 = raiz1 + 4 + 9 = raiz14

Passo 6

Substituímos os valores na fórmula do cosseno:
cos theta = 2raiz3 times raiz14 = 2raiz42
Para encontrar o ângulo theta, tiramos o arco cosseno:
theta = cos^-1( 2raiz42 )

Resposta

O ângulo entre os planos é theta = cos^-1( 2raiz42 ), que aproximadamente é 73,4^circ.

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