(a) Encontre um vetor perpendicular ao plano que passa atraves dos pontos P(1,4,6) Q(-2,5,-1) e R(1,-1,1).

Passo 1

Neste exercício, precisamos encontrar um vetor perpendicular ao plano que passa pelos pontos P(1,4,6) , Q(-2,5,-1) e R(1,-1,1) . Vamos usar conceitos de álgebra vetorial, especificamente vetores e produto vetorial, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar dois vetores que estão no plano. Para isso, podemos subtrair as coordenadas dos pontos para obter os vetores PQ e PR .
Calculando PQ :
PQ = Q - P = (-2-1, 5-4, -1-6) = (-3, 1, -7)
Calculando PR :
PR = R - P = (1-1, -1-4, 1-6) = (0, -5, -5)

Passo 3

Agora que temos os vetores PQ e PR que estão no plano, podemos encontrar um vetor perpendicular ao plano calculando o produto vetorial desses dois vetores. O produto vetorial de dois vetores resulta em um novo vetor que é perpendicular a ambos.

Passo 4

Vamos calcular o produto vetorial PQ times PR usando a fórmula:
a times b = ( ay bz - az by, ; az bx - ax bz, ; ax by - ay bx )
Aplicando os valores:
PQ = (-3, 1, -7) PR = (0, -5, -5)
PQ times PR = (1 cdot (-5) - (-7) cdot (-5), ; (-7) cdot 0 - (-3) cdot (-5), ; (-3) cdot (-5) - 1 cdot 0)
PQ times PR = (-5 - 35, ; 0 - 15, ; 15 - 0) = (-40, -15, 15)
Podemos simplificar esse vetor dividindo cada componente por 5:
(-40, -15, 15) div 5 = (-8, -3, 3)

Resposta

Um vetor perpendicular ao plano é boxed,(-8, -3, 3), .

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