Seja
(b) Determine o gradiente
. Calcule a derivada direcional de
no ponto
e na direção do vetor unitário
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos a função $ f(x, y) = \sqrt{x^{2} - y^{2}} $ e precisamos determinar o gradiente dessa função, ou seja, $ \nabla f(x, y) $. Depois, vamos calcular a derivada direcional dessa função no ponto $ (1, 0) $ na direção do vetor unitário $ \hat{t} = \frac{1}{\sqrt{2}}(\hat{i} + \hat{j}) $. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente derivadas parciais, gradiente e derivadas direcionais.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o gradiente $ \nabla f(x, y) $. O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a cada uma das variáveis independentes, neste caso, $ x $ e $ y $.
Então, vamos calcular cada derivada parcial separadamente.
Passo 3
Calculando a derivada parcial em relação a $ x $:
Usamos a regra da cadeia:
Agora, a derivada parcial em relação a $ y $:
Aplicando a regra da cadeia novamente:
Então, o gradiente fica:
Passo 4
Agora, vamos calcular o gradiente no ponto $ (1, 0) $:
Passo 5
Para encontrar a derivada direcional na direção do vetor unitário $ \hat{t} = \frac{1}{\sqrt{2}}(\hat{i} + \hat{j}) $, usamos a fórmula da derivada direcional:
Calculando o produto escalar:
Resposta
O gradiente da função $ f(x, y) $ é $ \nabla f(x, y) = \left( \frac{x}{\sqrt{x^{2} - y{2}}}, -\frac{y}{\sqrt{x{2} - y^{2}}} \right) $. A derivada direcional no ponto $ (1, 0) $ na direção do vetor unitário $ \hat{t} = \frac{1}{\sqrt{2}}(\hat{i} + \hat{j}) $ é $ \frac{1}{\sqrt{2}} $.