Seja
f(x, y)=raizx^2-y^2
(b) Determine o gradiente nabla f(x, y). Calcule a derivada direcional de / no ponto (1,0) e na direção do vetor unitário t=1raiz2(i+j).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a função $ f(x, y) = \sqrt{x^{2} - y^{2}} $ e precisamos determinar o gradiente dessa função, ou seja, $ \nabla f(x, y) $. Depois, vamos calcular a derivada direcional dessa função no ponto $ (1, 0) $ na direção do vetor unitário $ \hat{t} = \frac{1}{\sqrt{2}}(\hat{i} + \hat{j}) $. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente derivadas parciais, gradiente e derivadas direcionais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o gradiente $ \nabla f(x, y) $. O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a cada uma das variáveis independentes, neste caso, $ x $ e $ y $.
nabla f(x, y)
Então, vamos calcular cada derivada parcial separadamente.

Passo 3

Calculando a derivada parcial em relação a $ x $:
x
Usamos a regra da cadeia:
partial fpartial x = partialpartial x ( raizx^2 - y^2 )
Agora, a derivada parcial em relação a $ y $:
partial fpartial x = 12(x^2 - y^2)^-1/2 cdot 2x = xraizx^2 - y^2
Aplicando a regra da cadeia novamente:
y
Então, o gradiente fica:
partial fpartial y = partialpartial y ( raizx^2 - y^2 )

Passo 4

Agora, vamos calcular o gradiente no ponto $ (1, 0) $:
(1, 0)

Passo 5

Para encontrar a derivada direcional na direção do vetor unitário $ \hat{t} = \frac{1}{\sqrt{2}}(\hat{i} + \hat{j}) $, usamos a fórmula da derivada direcional:
t = 1raiz2(i + j)
Calculando o produto escalar:
Dt f(1, 0) = nabla f(1, 0) cdot t

Resposta

O gradiente da função $ f(x, y) $ é $ \nabla f(x, y) = \left( \frac{x}{\sqrt{x^{2} - y{2}}}, -\frac{y}{\sqrt{x{2} - y^{2}}} \right) $. A derivada direcional no ponto $ (1, 0) $ na direção do vetor unitário $ \hat{t} = \frac{1}{\sqrt{2}}(\hat{i} + \hat{j}) $ é $ \frac{1}{\sqrt{2}} $.

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