Seja
f(x, y)=raizx^2-y^2
(a) Faça o mapa de contorno (curvas de níveis) de f.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente fazer o mapa de contorno ou curvas de nível da função
f(x, y) = raizx^2 - y^2
Isso envolve entender um pouco de geometria analítica e funções de duas variáveis. Vamos precisar saber o que são curvas de nível e como elas representam a função no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são curvas de nível. São curvas no plano onde a função f(x, y) assume um valor constante. Ou seja, para cada valor constante c, a curva de nível é o conjunto de pontos (x, y) que satisfazem
f(x, y) = c

Passo 3

Aplicando isso à nossa função, temos:
raizx^2 - y^2 = c
Para simplificar, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
x^2 - y^2 = c^2

Passo 4

Essa equação
x^2 - y^2 = c^2
é a equação geral de uma hipérbole. Assim, cada valor de c gera uma hipérbole diferente no plano xy.

Passo 5

Então, para diferentes valores de c, teremos diferentes hipérboles. Por exemplo:
  • Se c = 1, a equação é x^2 - y^2 = 1.
  • Se c = 2, a equação é x^2 - y^2 = 4.
  • E assim por diante.

Passo 6

Essas hipérboles estarão sempre abertas horizontalmente, já que o termo x^2 é positivo. Isso significa que elas se estendem mais ao longo do eixo x do que do eixo y.

Passo 7

Além disso, como a expressão dentro da raiz, x^2 - y^2, precisa ser não negativa para que a função f(x, y) seja real, teremos que |x| >= |y|. Isso significa que as curvas de nível existirão apenas nas regiões onde x está maior ou igual a y em valor absoluto.

Resposta

Então, o mapa de contorno da função f(x, y) = raizx^2 - y^2 é formado por hipérboles horizontais da forma
x^2 - y^2 = c^2,
para diferentes valores positivos de c. Essas curvas representam as diferentes “alturas” da função no plano xy.

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