Seja
(a) Faça o mapa de contorno (curvas de níveis) de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente fazer o mapa de contorno ou curvas de nível da função
Isso envolve entender um pouco de geometria analítica e funções de duas variáveis. Vamos precisar saber o que são curvas de nível e como elas representam a função no plano.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são curvas de nível. São curvas no plano onde a função
assume um valor constante. Ou seja, para cada valor constante
, a curva de nível é o conjunto de pontos
que satisfazem
Passo 3
Aplicando isso à nossa função, temos:
Para simplificar, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Passo 4
Essa equação
é a equação geral de uma hipérbole. Assim, cada valor de
gera uma hipérbole diferente no plano
.
Passo 5
Então, para diferentes valores de
, teremos diferentes hipérboles. Por exemplo:
- Se
, a equação é . - Se
, a equação é . - E assim por diante.
Passo 6
Essas hipérboles estarão sempre abertas horizontalmente, já que o termo
é positivo. Isso significa que elas se estendem mais ao longo do eixo
do que do eixo
.
Passo 7
Além disso, como a expressão dentro da raiz,
, precisa ser não negativa para que a função
seja real, teremos que
. Isso significa que as curvas de nível existirão apenas nas regiões onde
está maior ou igual a
em valor absoluto.
Resposta
Então, o mapa de contorno da função
é formado por hipérboles horizontais da forma
para diferentes valores positivos de
. Essas curvas representam as diferentes “alturas” da função no plano
.