Obtenha o polinômio de Taylor de grau 2.
a) f(x, y)=1x^2+y^2,(x0, y0)=(1,1).
b) f(x, y)=sen(x+2 y),(x0, y0)=(0, pi2)

Passo 1

O enunciado pede o polinômio de Taylor de grau 2 para funções de duas variáveis em torno dos pontos dados. Vamos usar a fórmula geral de Taylor em duas variáveis, que envolve derivadas parciais de primeira e segunda ordem avaliadas no ponto (x0,y0).

Passo 2

Seja h = x - x0 e k = y - y0. O polinômio de Taylor de grau 2 de f(x,y) em (x0,y0) é
T2(x,y)=f(x0,y0)+fx(x0,y0),h+fy(x0,y0),k +tfrac12l[fxx(x0,y0),h^2+2,fxy(x0,y0),h,k+fyy(x0,y0),k^2r]

Passo 3

(a) f(x,y)=1x^2+y^2, (x0,y0)=(1,1).
Calculemos as derivadas e avalie em (1,1), onde u=x^2+y^2l|(1,1)=2:
f(1,1)=tfrac12, fx=-tfrac2xu^2;Longrightarrow;fx(1,1)=-tfrac12, fy(1,1)=-tfrac12,
fxx=-tfrac2u^2+tfrac8x^2u^3;Longrightarrow;fxx(1,1)=tfrac12, fyy(1,1)=tfrac12, fxy=tfrac8xyu^3;Longrightarrow;fxy(1,1)=1

Passo 4

Substituindo em T2 com h=x-1, k=y-1:
T2^(a)=tfrac12 -tfrac12,h -tfrac12,k +tfrac12l(tfrac12,h^2+2cdot1,h,k+tfrac12,k^2r) =tfrac12-tfrac12h-tfrac12k+tfrac14h^2+h,k+tfrac14k^2

Passo 5

(b) f(x,y)=sen(x+2y), (x0,y0)=(0,tfracpi2).
No ponto de expansão temos x+2yl|(0,pi/2)=pi e senpi=0. As derivadas:
fx=cos(x+2y);Longrightarrow;fx(0,tfracpi2)=-1, fy=2cos(x+2y);Longrightarrow;fy(0,tfracpi2)=-2,
fxx=-sin(x+2y);Longrightarrow;0, fxy=-2sin(x+2y);Longrightarrow;0, fyy=-4sin(x+2y);Longrightarrow;0

Passo 6

Como todas as segundas derivadas em (0,tfracpi2) são zero, o termo quadrático some. Com h=x, k=y-tfracpi2:
T2^(b)=0 +(-1),x +(-2),k =-x -2l(y-tfracpi2r) =-x-2y+pi

Resposta

(a) T2^(a)(x,y) =tfrac12-tfrac12(x-1)-tfrac12(y-1) +tfrac14(x-1)^2+(x-1)(y-1)+tfrac14(y-1)^2
(b) T2^(b)(x,y)=-x-2y+pi

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