Seja G o grupo aditivo de todas as matrizes quadradas triangular superior de ordem 2. Seja H o subconjunto G formado pelas matrizes da forma
(ll 1 & x 0 & 1 )
onde x in R. Prove que
H é abeliano.

Passo 1

O enunciado define o grupo (sob multiplicação)
G=a&b0&c;midd<=|;a,b,cinR,;acneq0
e o subconjunto
H=1&x0&1;midd<=|;xinR
Queremos mostrar que todo par de elementos de H comuta, isto é, H é abeliano.

Passo 2

Sejam
A(x)=1&x0&1 e A(y)=1&y0&1
elementos arbitrários de H. Calculamos primeiro
A(x),A(y) =1&x0&1 1&y0&1 = 1cdot1+ xcdot0 & 1cdot y + xcdot1 0cdot1+1cdot0 & 0cdot y+1cdot1 =1 & x+y0&1
De modo análogo,
A(y),A(x) =1&y0&1 1&x0&1 =1 & y+x0&1

Passo 3

Como a adição em R é comutativa, x+y=y+x. Logo
A(x),A(y) =1 & x+y0&1 =1 & y+x0&1 =A(y),A(x)
Isto prova que quaisquer dois elementos de H comutam.

Resposta

H é abeliano.

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