Determine o ângulo entre as retas r: X=(1,2,0)+lambda(1,3,7) e x-12=y-31=z-13.

Passo 1

O enunciado pede o ângulo entre duas retas em R^3. O conteúdo é geometria analítica espacial: para encontrar o ângulo usamos os vetores diretores de cada reta e a fórmula
costheta = lvert v1cdot v2rvert|v1|,|v2|

Passo 2

Extraímos os vetores diretores:
— Para rcolon X=(1,2,0)+lambda(1,3,7),
vr=(1,3,7).
— Para a reta x-12=y-31=z-13, o vetor diretor é
vs=(2,1,3).

Passo 3

Calculamos o produto escalar
vrcdot vs = (1)(2)+(3)(1)+(7)(3) =2+3+21 =26

Passo 4

Calculamos as normas:
|vr| = raiz1^2+3^2+7^2 = raiz1+9+49 = raiz59,
|vs| = raiz2^2+1^2+3^2 = raiz4+1+9 = raiz14

Passo 5

Aplicando a fórmula do cosseno do ângulo:
costheta = lvert 26rvertraiz59,raiz14 = 26raiz826
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theta = arccos!l(26raiz826r)

Resposta

theta = arccos!l(tfrac26raiz826r)approx25,1^circ.

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