1. Determine o ângulo entre:
(1,0) \quad \text { e } \quad(1,1)

Passo 1

O enunciado pede para determinar o ângulo entre os dois vetores no plano:
  • Primeiro vetor: (1,0).
  • Segundo vetor: (1,1).
A pergunta é: qual é o ângulo \theta entre esses dois vetores?

Passo 2

Vamos usar a relação que liga produto escalar e ângulo entre vetores. Para dois vetores u e v em \mathbb{R}^n vale:
u\cdot v = \|u\|\,\|v\|\cos\theta.
Explicando os símbolos:
  • u\cdot v é o produto escalar (ou interno) entre u e v.
  • \|u\| e \|v\| são as normas (comprimentos) dos vetores u e v.
  • \theta é o ângulo entre u e v.
    Assim, isolando \cos\theta obtemos:
\cos\theta = \frac{u\cdot v}{\|u\|\,\|v\|}.
Também: o produto escalar de u=(u_1,u_2) e v=(v_1,v_2) é
u\cdot v = u_1v_1 + u_2v_2,
e a norma é
\|u\| = \sqrt{u_1^2+u_2^2}.

Passo 3

Calcular o produto escalar dos vetores dados. Tomando u=(1,0) e v=(1,1),
u\cdot v = 1\cdot 1 + 0\cdot 1 = 1.

Passo 4

Calcular as normas (comprimentos) dos vetores.
Para u=(1,0):
\|u\| = \sqrt{1^2+0^2} = \sqrt{1} = 1.
Para v=(1,1):
\|v\| = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}.

Passo 5

Substituir na fórmula de \cos\theta:
\cos\theta = \frac{u\cdot v}{\|u\|\,\|v\|} = \frac{1}{1\cdot\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}.
Racionalizando, isso é igual a
\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}.

Passo 6

Reconhecer qual ângulo tem cosseno igual a \dfrac{\sqrt{2}}{2}. Sabe-se (ou pode-se recordar do triângulo isósceles de 45°–45°–90°) que
\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}.
Portanto
\theta = \frac{\pi}{4},
que em graus é
\theta = 45^\circ.

Resposta

\theta=\dfrac{\pi}{4}
\theta=45^\circ

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