Determine o ângulo entre a reta r:(x, y, z)=(1,0,0)+t(3,3,5), t in R, e o plano alpha : x-3 y-7 z-1=0.

Passo 1

O enunciado pede o ângulo entre a reta
r: (x,y,z) = (1,0,0) + t cdot (3,3,5), t in R\n
e o plano
alpha: x - 3y - 7z - 1 = 0\n
O conteúdo é geometria vetorial: vamos usar que, se d é o vetor diretor da reta e n é o vetor normal do plano, então o ângulo theta entre reta e plano satisfaz
sin theta = |d cdot n||d| ; |n|

Passo 2

Identificamos o vetor diretor da reta e o vetor normal do plano:
d = (3,3,5), pois é o coeficiente de t,
e
n = (1,-3,-7), pois são os coeficientes de x,y,z na equação de alpha.

Passo 3

Calculamos o produto escalar e as normas:
d cdot n = 3cdot1 + 3cdot(-3) + 5cdot(-7) = 3 - 9 - 35 = -41,
| d| = raiz3^2 + 3^2 + 5^2 = raiz9 + 9 + 25 = raiz43,
| n| = raiz1^2 + (-3)^2 + (-7)^2 = raiz1 + 9 + 49 = raiz59

Passo 4

O ângulo theta entre reta e plano satisfaz
sintheta = l| dcdot nr|| d|;| n| = 41raiz43,raiz59
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theta = arcsin!l(41raiz43,cdot,59r) approx 54,3^circ

Resposta

theta = arcsin!l(41raiz43,cdot,59r)approx54,3^circ

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