Determine a posição relativa dos planos pi1: 2 x-3 y+z-4=0 e pi2: 4 x-6 y+2 z-3=0 no espaço. Calcule a distância entre os planos.

Passo 1

Resumo do enunciado: temos dois planos
pi1: 2x - 3y + z - 4 = 0 e
pi2: 4x - 6y + 2z - 3 = 0
O objetivo é determinar se eles se intersectam, são paralelos ou coincidentes e, em caso de paralelismo, calcular a distância entre eles. Para isso vamos usar vetores normais e a fórmula de distância entre planos paralelos.

Passo 2

Para classificar a posição relativa, extraímos os vetores normais:
n1 = (2,-3,1) para pi1
n2 = (4,-6,2) para pi2
Observamos que
n2 = 2,n1,
logo os planos são paralelos ou coincidentes. Para ver se coincidem, basta escalar a equação de pi1 por 2 e comparar com pi2:
2,(2x - 3y + z - 4)=4x - 6y + 2z - 8 = 0,
que difere de
4x - 6y + 2z - 3 = 0
Portanto, são planos paralelos e distintos.

Passo 3

Para calcular a distância entre dois planos paralelos da forma
Ax+By+Cz+D1=0 e Ax+By+Cz+D2=0
usa-se
d = l|D2-D1r|raizA^2+B^2+C^2
Aqui, dividimos a equação de pi2 por 2 para igualar os coeficientes de x,y,z:
pi2:;2x - 3y + z - tfrac32 = 0,
logo D1 = -4, D2 = -tfrac32 e
raizA^2+B^2+C^2 = raiz2^2 + (-3)^2 + 1^2 = raiz14
Substituindo,
d = l|-tfrac32 - (-4)r|raiz14 = 5/2raiz14 = 52raiz14

Resposta

Os planos são paralelos e distintos.
A distância entre eles é 52raiz14.

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