Determine a equação geral do plano pi: X=(0,-1,3)+lambda(1,1,4)+mu(2,-3,1), lambda, mu in R, usando produto vetorial.

Passo 1

O enunciado nos dá o plano pi em forma paramétrica
X = (0,-1,3) + lambda,(1,1,4) + mu,(2,-3,1), lambda,muinR,
e pede a sua equação geral ax+by+cz+d=0. Para isso precisamos encontrar um vetor normal vec n ao plano, e o jeito mais direto é usar o produto vetorial dos dois vetores diretores
vec v=(1,1,4) e vec w=(2,-3,1).

Passo 2

Calculamos o produto vetorial
vec n = vec vtimesvec w = i & j & k 1 & 1 & 4 2 & -3 & 1 = i(1cdot1 - 4cdot(-3)) - j(1cdot1 - 4cdot2) + k(1cdot(-3) - 1cdot2)
Isso dá
vec n = (1+12,;- (1-8),;-3-2) = (13,,7,,-5)

Passo 3

A equação geral do plano é dada por
vec ncdotl((x,y,z)-(0,-1,3)r)=0
Como vec n=(13,7,-5) e o ponto P0=(0,-1,3), temos
13(x-0) + 7l(y+1r) -5(z-3) = 0
ou seja
13x + 7y +7 -5z +15 = 0 Longrightarrow 13x +7y -5z +22 = 0

Resposta

A equação geral do plano pi é
13x + 7y - 5z + 22 = 0

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