Determine a posição relativa e calcule as distancias, Entre o ponto P=(3,2,2) e a reta l:(x, y, z)=(0,0,1)+s(1,3,4).

Passo 1

O enunciado dá o ponto P=(3,2,2) e a reta
l:;(x,y,z) = (0,0,1) + s,(1,3,4),
ou seja, reta com ponto A=(0,0,1) e vetor diretor v=(1,3,4).
Precisamos (a) verificar se P pertence a l e (b) calcular a distância de P à reta l, que no espaço é o menor comprimento do segmento perpendicular de P até l.

Passo 2

Testamos se existe s tal que
(0,0,1) + s,(1,3,4) ;=;(3,2,2)
Da coordenada x:
s = 3
Mas então da coordenada y:
0 + 3cdot 3 = 9 neq 2,
logo não há um mesmo s que satisfaça todas as equações. Conclusão:
P não pertence à reta l.

Passo 3

Para a distância usamos a fórmula
dl(P,lr) =l|APtimesvr||v|,
onde AP=P-A=(3,2,2)-(0,0,1)=(3,2,1).
Calculemos o produto vetorial:
APtimesv = i&j&k 3&2&1 1&3&4 =(2cdot4-1cdot3),i -(3cdot4-1cdot1),j +(3cdot3-2cdot1),k =(5,-11,7)
Então
l|APtimesvr| =raiz5^2 + (-11)^2 + 7^2 =raiz25+121+49 =raiz195,
e
|v| =raiz1^2+3^2+4^2 =raiz26
Logo
dl(P,lr) =raiz195raiz26 =raiz19526 =raiz152 =raiz302

Resposta

P não pertence à reta l e
dl(P,lr)=raiz302

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