Determine a posição relativa e calcule as distancias, Entre as retas r:(x, y, z)=(1,0,0)+t(1,5,3) e l:(x, y, z)=(4,1,3)+s(2,10,6).

Passo 1

O enunciado pede a posição relativa e a distância entre as retas
rcolon (x,y,z)=(1,0,0)+t,(1,5,3) e
lcolon (x,y,z)=(4,1,3)+s,(2,10,6).
O conteúdo é geometria no espaço: vamos usar vetores diretores, testar colinearidade para ver se são paralelas e, caso não se intersectem, calcular a distância mínima via produto vetorial.

Passo 2

Identificamos os vetores diretores:
vec dr=(1,5,3) e vec dl=(2,10,6).
Como
vec dl = 2,(1,5,3) = 2,vec dr,
os vetores são colineares, logo as retas são paralelas.

Passo 3

Para ver se as retas coincidem ou são distintas, tentamos resolver
(1,0,0)+t,(1,5,3) ;=;(4,1,3)+s,(2,10,6)
Da coordenada x: 1+t=4+2s implica t=3+2s.
Da coordenada y: 5t=1+10s. Substituindo t=3+2s obtemos
5(3+2s)=1+10s Longrightarrow 15+10s=1+10s Longrightarrow 15=1,
o que é absurdo. Portanto não há ponto comum e as retas são paralelas distintas.

Passo 4

Para retas paralelas distintas, a distância mínima é dada por
d = l|vec dr times PrPellr||vec dr|,
onde Pr=(1,0,0) e Pell=(4,1,3), e
PrPell=Pell-Pr=(3,1,3) ou seu oposto (-3,-1,-3).

Passo 5

Calculamos o produto vetorial usando w=(-3,-1,-3):
vec dr times w =(1,5,3)times(-3,-1,-3) =(-12,,-6,;14)
Seu módulo é
l|( -12,-6,14)r| =raiz(-12)^2+(-6)^2+14^2 =raiz144+36+196 =raiz376 =2raiz94
O módulo de vec dr é
|vec dr|=raiz1^2+5^2+3^2=raiz35
Logo
d=2raiz94raiz35 =2raiz9435

Resposta

As retas são paralelas e distintas, e a distância mínima entre elas é
d=2raiz9435

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