Seja T: R^3 R^3 a transformação linear tal que T(1,0,0)=(1,3,2), T(0,1,0)=(0,0,0) e T(0,0,1)=(2,-1,0). Responda cada um dos itens:
T é sobrejetora? E injetora? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear T:R^3toR^3 definida pelos valores em base padrão:
T(1,0,0)=(1,3,2), T(0,1,0)=(0,0,0), T(0,0,1)=(2,-1,0)
Queremos verificar se T é sobrejetora (se sua imagem é todo R^3) e se é injetora (se seu núcleo é apenas o vetor zero). Usaremos as noções de espaço-imagem, núcleo e o Teorema da Dimensão (rank–nullity).

Passo 2

Determinar o espaço-imagem de T. Como T é linear,
Im(T)=spanT(1,0,0),,T(0,1,0),,T(0,0,1) =span(1,3,2),,(0,0,0),,(2,-1,0)
O vetor (0,0,0) não contribui, restando os vetores (1,3,2) e (2,-1,0).

Passo 3

Verificar se
Da terceira equação vem . Logo são LI e
. Como a imagem não tem dimensão , não é sobrejetora.

Passo 4

Determinar o núcleo de T. Seja (x,y,z)inker(T). Então
T(x,y,z) =x,(1,3,2)+y,(0,0,0)+z,(2,-1,0) =(x+2z,;3x-z,;2x)=(0,0,0)
Dessa forma,
2x=0implies x=0, x+2z=0implies 2z=0implies z=0,
e y fica livre. Assim
ker(T)=(0,y,0)mid yinR,
que é um subespaço de dimensão 1, não trivial.

Passo 5

Como ker(T) contém vetores não-nulos, T não é injetora. Pelo Teorema da Dimensão, rank(T)=2 e nullity(T)=1, confirmando a não-injetividade.

Resposta

T não é sobrejetora e não é injetora.

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