Seja
a transformação linear tal que
e
. Responda cada um dos itens:
é sobrejetora? E injetora? Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado dá uma transformação linear
definida pelos valores em base padrão:
Queremos verificar se
é sobrejetora (se sua imagem é todo
) e se é injetora (se seu núcleo é apenas o vetor zero). Usaremos as noções de espaço-imagem, núcleo e o Teorema da Dimensão (rank–nullity).
Passo 2
Determinar o espaço-imagem de
. Como
é linear,
O vetor
não contribui, restando os vetores
e
.
Passo 3
Verificar se
Da terceira equação vem . Logo são LI e
Passo 4
Determinar o núcleo de
. Seja
. Então
Dessa forma,
e
fica livre. Assim
que é um subespaço de dimensão 1, não trivial.
Passo 5
Como
contém vetores não-nulos,
não é injetora. Pelo Teorema da Dimensão,
e
, confirmando a não-injetividade.