Determine o ângulo entre as retas
r: X=(7,0,0)+t(-3,0,1), t in R e s: X=(5,0,0)+t(2,0,1), t in R

Passo 1

A questão dá duas retas no espaço
r: X = (7,0,0) + t,(-3,0,1), tinR
s: X = (5,0,0) + t,(2,0,1), tinR
e pede o ângulo entre elas. O conteúdo aqui é o ângulo entre retas no espaço, que calculamos a partir dos vetores diretores e da fórmula
cos(theta)=l|vec ucdotvec vr||vec u|,|vec v|

Passo 2

Identificamos os vetores diretores:
vec u = (-3,0,1), vec v = (2,0,1)

Passo 3

Calculamos o produto escalar e as normas:
vec ucdotvec v = (-3)cdot2 + 0cdot0 + 1cdot1 = -6 + 1 = -5,
|vec u| = raiz(-3)^2 + 0^2 + 1^2 = raiz10, |vec v| = raiz2^2 + 0^2 + 1^2 = raiz5

Passo 4

Aplicamos a fórmula do cosseno:
cos(theta) = l|vec ucdotvec vr||vec u|,|vec v| = 5raiz10,raiz5 = 5raiz50 = 55raiz2 = 1raiz2

Passo 5

Finalmente, extraímos o ângulo:
theta = arccos!l(tfrac1raiz2r) = 45^circ ou theta = pi4

Resposta

theta = 45^circ (ou theta = tfracpi4).

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